Проценты: три задачи, к которым сводятся все остальные
Почти любая школьная задача на проценты сводится к одной из трёх: найти процент от числа, найти число по его проценту или узнать, сколько процентов одно число составляет от другого. Разбираем все три, потом сложные проценты и ловушку «подорожало на 20 %, подешевело на 20 %».
Для учеников 5–9 классов и родителей, которые помогают с домашкой.
Что такое процент
Процент это сотая часть. Когда говорят «20 % учеников», имеют в виду 20 из каждых 100. Поэтому любой процент легко превратить в обычную или десятичную дробь: делим на сто.
1 % = 1/100 = 0,01 35 % = 0,35 120 % = 1,2
Несколько процентов полезно знать в лицо, тогда половина задач решается в уме.
| Процент | Дробь | Как считать |
|---|---|---|
| 50 % | 1/2 | разделить на 2 |
| 25 % | 1/4 | разделить на 4 |
| 20 % | 1/5 | разделить на 5 |
| 10 % | 1/10 | сдвинуть запятую на один знак влево |
| 75 % | 3/4 | разделить на 4 и умножить на 3 |
Задача первая: найти процент от числа
Переводим процент в десятичную дробь и умножаем на число. Пятнадцать процентов от 240 это 0,15 · 240 = 36.
Задача
Куртка стоит 4 500 ₽, на неё скидка 30 %. Сколько стоит куртка со скидкой?
Можно посчитать скидку: 0,3 · 4 500 = 1 350 ₽, и вычесть её из цены: 4 500 − 1 350 = 3 150 ₽.
Быстрее сразу найти, сколько процентов цены остаётся. Скидка 30 %, значит, платим 70 %: 0,7 · 4 500 = 3 150 ₽.
Ответ: 3 150 ₽.
Второй способ стоит запомнить: «уменьшить на p %» значит умножить на (1 − p/100), а «увеличить на p %» значит умножить на (1 + p/100). Это пригодится в задачах про вклады.
Задача вторая: найти число по его проценту
Известна часть и сколько процентов она составляет. Нужно найти целое. Делим часть на долю: если 45 % класса это 18 учеников, то во всём классе 18 : 0,45 = 40 человек.
Задача
Маша прочитала 120 страниц, это 40 % книги. Сколько страниц в книге?
40 % это 0,4 от всей книги. Значит, вся книга: 120 : 0,4 = 300 страниц.
Проверка: 0,4 · 300 = 120. Сходится.
Ответ: 300 страниц.
Если путаетесь, умножать или делить, представьте ответ заранее. Сорок процентов это меньше половины, значит, целое должно получиться больше 120. Умножение дало бы 48, это явно не то.
Задача третья: сколько процентов составляет одно число от другого
Делим часть на целое и умножаем на 100. Двенадцать из 48 это 12 : 48 = 0,25, то есть 25 %.
Задача
Проезд подорожал с 80 до 92 ₽. На сколько процентов выросла цена?
Цена выросла на 92 − 80 = 12 ₽.
Сравниваем с тем, что было до изменения: 12 : 80 = 0,15, это 15 %.
Ответ: на 15 %.
Главная ошибка в таких задачах: делить на новое значение. Изменение всегда сравнивают с тем, что было раньше, если в условии не сказано иначе.
Ловушка: подорожало на 20 %, потом подешевело на 20 %
Кажется, что цена вернулась к прежней. Проверим на числах: товар стоил 1 000 ₽, подорожал на 20 % и стал стоить 1 200 ₽. Потом подешевел на 20 %, но уже от 1 200, то есть на 240 ₽. Итог 960 ₽.
1 000 · 1,2 · 0,8 = 960
Цена упала на 4 %. Второй раз двадцать процентов берутся от большего числа, поэтому скидка в рублях больше наценки. Так же работают проценты на бирже, в зарплатах и в рекламных акциях.
Сложные проценты: вклад и рост год за годом
Если проценты каждый год начисляются на уже выросшую сумму, число умножается на один и тот же множитель много раз подряд.
Задача
На вклад положили 10 000 ₽ под 10 % годовых, проценты прибавляются к вкладу раз в год. Сколько будет через три года?
Каждый год сумма умножается на 1,1.
Через год 11 000 ₽, через два 12 100 ₽, через три 13 310 ₽.
Ответ: 13 310 ₽.
S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ
Здесь S₀ начальная сумма, p процент, n число лет. Эта же формула встречается в задачах ЕГЭ о кредитах, о них отдельная статья.
Как считать проценты в уме
- 10 % это число с запятой, сдвинутой на знак влево: 10 % от 370 = 37.
- 5 % это половина от десяти: 5 % от 370 = 18,5.
- 15 % собираем из 10 % и 5 %: 37 + 18,5 = 55,5.
- Проценты можно переставить: 8 % от 50 это то же, что 50 % от 8, то есть 4. Выбирайте удобный порядок.
- 1 % это сотая часть, а дальше умножаем: 3 % от 600 = 6 · 3 = 18.
Больше приёмов устного счёта в статье «Пять задач, которые решаются в уме».
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
В каком классе проходят проценты?
Знакомство с процентами начинается в 5 классе, основная тема идёт в 6 классе. Потом проценты возвращаются в задачах ОГЭ в 9 классе и в финансовых задачах ЕГЭ.
Можно ли решать задачи на проценты пропорцией?
Да. Пропорция «часть так относится к целому, как проценты к 100» решает все три типа задач. Но понимать, что процент это просто сотая доля, полезнее: так быстрее и меньше ошибок в многошаговых задачах.
Почему процент может быть больше ста?
Потому что часть может быть больше целого, с которым сравниваем. Если цена выросла вдвое, новая цена составляет 200 % от старой, а выросла она на 100 %.