Почему 0,999… = 1
Спор «равно ли 0,999… единице» вспыхивает в интернете регулярно. Кажется очевидным, что не равно: ведь девятки никогда не дотягивают до единицы. Но математики единодушны: это одно и то же число, просто записанное двумя способами. Разбираем три доказательства, понятных семикласснику, и объясняем, почему интуиция нас обманывает.
Для 6–11 классов.
Что значит 0,999…
Запись 0,999… или 0,(9) значит, что девятки после запятой продолжаются бесконечно, без конца. Это не число с тысячей девяток и не с миллиардом. Именно бесконечно много.
В этом и подвох. Мы привыкли к конечным вещам, и любое конкретное число девяток действительно даёт число меньше единицы: 0,99 меньше на 0,01, 0,999 на 0,001. Но бесконечная дробь не стоит в конце этого ряда, она его предел, и этот предел ровно 1.
Доказательство через 1/3
Все согласны, что 1/3 = 0,333… Умножим обе части на 3:
1/3 · 3 = 1 0,333… · 3 = 0,999…
Слева одно и то же число, умноженное на 3, значит, и результаты равны: 0,999… = 1. Если кто-то не согласен, ему придётся объяснить, почему 1/3 не равно 0,333…
Доказательство уравнением
Обозначим x = 0,999… Умножим на 10: сдвигаем запятую, девяток после неё по-прежнему бесконечно много.
10x = 9,999… 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9 9x = 9, x = 1
Этот же приём работает для любой периодической дроби и позволяет переводить их в обыкновенные. Его стоит запомнить, он пригодится в 8–9 классе.
Доказательство через разность
Если два числа разные, между ними есть расстояние, и можно найти число посередине. Какое число лежит между 0,999… и 1? Попробуйте его записать.
Разность 1 − 0,999… меньше 0,1, меньше 0,01, меньше 0,000001 и вообще меньше любого положительного числа, которое вы назовёте. Единственное неотрицательное число с таким свойством ноль. Разность равна нулю, значит, числа равны.
Почему интуиция протестует
Главная причина: мы думаем о 0,999… как о процессе, «девятки дописываются и дописываются». А в математике это не процесс, а готовый объект, у которого все девятки уже есть.
Вторая причина: кажется, что у одного числа должна быть одна запись. Но у многих чисел записей несколько: 1/2 = 2/4 = 0,5 = 0,4999… Десятичные дроби, которые заканчиваются, всегда можно записать и через бесконечные девятки: 2,5 = 2,4999…
Похожие парадоксы с бесконечностью придумывали ещё древние греки. Знаменитая апория Зенона про Ахиллеса и черепаху устроена так же: бесконечно много всё меньших шагов в сумме дают конечный путь.
Похожий спор: половина, четверть, восьмая
Возьмите шоколадку. Съешьте половину, потом половину остатка, потом половину того, что осталось, и так далее. Сколько вы съедите, если продолжать бесконечно?
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1
После каждого шага остаётся кусочек, равный последнему съеденному. Он становится всё меньше и меньше, и разница с целой шоколадкой стремится к нулю. Бесконечная сумма равна ровно единице, а не «почти единице». Это тот же самый факт, что и 0,999… = 1, только в двоичной записи: 0,111… в двоичной системе тоже равно 1.
Задача
Найдите сумму 0,9 + 0,09 + 0,009 + … и сравните с 0,999…
Это геометрическая прогрессия с первым членом 0,9 и знаменателем 0,1.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии: b₁ / (1 − q) = 0,9 / 0,9 = 1.
А запись 0,999… как раз и означает эту сумму.
Ответ: 1, ещё одно доказательство.
Формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии проходят в 9 классе. Она объясняет, почему бесконечно много слагаемых может давать конечный результат, и снимает почти все споры об этом числе.
Переведите в обыкновенные дроби
Задача
Переведите в обыкновенную дробь: 1) 0,(3); 2) 0,(27); 3) 1,(6); 4) 0,1(6).
1) x = 0,333…, 10x − x = 3, 9x = 3, x = 1/3.
2) Период из двух цифр, умножаем на 100: 100x − x = 27, x = 27/99 = 3/11.
3) 1 + 0,(6) = 1 + 6/9 = 1 + 2/3 = 5/3.
4) x = 0,1666…, 10x = 1,666…, 100x = 16,666…, 100x − 10x = 15, x = 15/90 = 1/6.
Ответ: 1/3; 3/11; 5/3; 1/6.
Правило из задач: период из одной цифры даёт в знаменателе 9, из двух 99, из трёх 999. Так, 0,(142857) = 142857/999999 = 1/7. Это число мы встречали в статье о математических фокусах.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Значит, 0,999… это не «почти единица»?
Нет, это ровно единица. «Почти единица» это любая конечная запись вроде 0,9999. Бесконечная запись совпадает с 1.
А в других системах счисления так тоже бывает?
Да. В любой системе есть числа с двумя записями. В двоичной 0,111… = 1, в троичной 0,222… = 1. Общее правило: бесконечный хвост из самой большой цифры системы равен единице в предыдущем разряде.
Что ответить другу, который не верит?
Попросить назвать число, которое лежит строго между 0,999… и 1. Если числа разные, такое число должно существовать. Обычно на этом спор и заканчивается: назвать его невозможно. Любое предложенное число окажется либо меньше 0,999…, либо равно единице, и спорить становится не о чем.
Где это пригодится?
При переводе периодических дробей в обыкновенные в 8–9 классе, а в старших классах и вузе в теме пределов и рядов. И в спорах: теперь есть три аргумента.