Проценты в уме: пять приёмов на каждый день
Проценты встречаются каждый день: скидка 30 %, кэшбэк 5 %, чаевые 10 %. Считать их на калькуляторе долго, а в уме кажется сложно. На самом деле хватает пяти приёмов, и все они опираются на одну идею: процент это сотая часть. Разбираем приёмы и тренируемся на задачах из жизни.
Для 5–11 классов и родителей.
Приём 1. Десять процентов
10 % это десятая часть. Чтобы найти её, сдвиньте запятую на один знак влево: 10 % от 2 340 это 234, от 87,5 это 8,75. Это основа почти всех остальных приёмов.
Отсюда легко получить 20 %, 30 % и так далее: умножить десять процентов на 2, на 3. 30 % от 2 340 = 234 · 3 = 702.
Приём 2. Пять процентов и один процент
5 % это половина от 10 %. Кэшбэк 5 % с покупки на 3 600 рублей: 10 % это 360, половина 180.
1 % это сотая часть, запятая сдвигается на два знака. 1 % от 3 600 = 36. А дальше собираем нужное число из кусков: 15 % = 10 % + 5 %, 12 % = 10 % + 1 % + 1 %, 25 % = четверть.
Задача
Посчитайте в уме: 1) 15 % от 1 200; 2) 12 % от 450; 3) 25 % от 3 200; 4) 35 % от 60.
1) 10 % = 120, 5 % = 60, итого 180.
2) 10 % = 45, 1 % = 4,5, итого 45 + 4,5 + 4,5 = 54.
3) Четверть: 800.
4) 10 % = 6, 30 % = 18, 5 % = 3, итого 21.
Ответ: 180; 54; 800; 21.
Приём 3. Перестановка
Самый красивый приём: x % от y равно y % от x. Потому что x % от y это x · y / 100, а от перестановки множителей произведение не меняется.
Как это помогает: 8 % от 50 считать неудобно, а 50 % от 8 это половина восьми, 4. 16 % от 25 превращается в 25 % от 16, четверть от 16, то есть 4. 3 % от 200 превращается в 200 % от 3, удвоенное 3, то есть 6.
Задача
Посчитайте с перестановкой: 1) 4 % от 75; 2) 18 % от 50; 3) 7 % от 300; 4) 44 % от 25.
1) 75 % от 4 = 3.
2) 50 % от 18 = 9.
3) 300 % от 7 = 21.
4) 25 % от 44 = 11.
Ответ: 3; 9; 21; 11.
Приём 4. Цена после скидки
Если вещь со скидкой 30 %, платить нужно 70 % цены. Поэтому сразу умножаем на 0,7, а не считаем скидку и вычитаем. Куртка за 5 000 со скидкой 30 %: 5 000 · 0,7 = 3 500.
Скидка на скидку не складывается. 20 % и ещё 10 % сверху это не 30 %, а 0,8 · 0,9 = 0,72, то есть скидка 28 %. Магазины пишут «до −30 %» именно поэтому: звучит больше, чем есть.
Задача
Кроссовки стоили 8 000 рублей. Сначала их уценили на 25 %, а на кассе дали ещё 10 % по карте. Сколько заплатили?
После первой скидки 8 000 · 0,75 = 6 000.
После второй 6 000 · 0,9 = 5 400.
Ответ: 5 400 рублей, итоговая скидка 32,5 %, а не 35 %.
Приём 5. Обратная задача
Иногда известна сумма с процентом, а нужна исходная. Цена с наценкой 20 % стала 1 200. Ошибка: вычесть 20 % от 1 200 и получить 960. Правильно: 1 200 это 120 % исходной цены, значит, исходная 1 200 : 1,2 = 1 000.
Задача
После повышения зарплаты на 10 % она стала 55 000 рублей. Какой была зарплата до повышения?
55 000 это 110 % старой зарплаты.
55 000 : 1,1 = 50 000.
Ответ: 50 000 рублей.
Задачи из жизни
Задача
1) Счёт в кафе 2 400 рублей. Сколько оставить чаевых, если хочется 10 %? А 15 %? 2) Кэшбэк 3 % с покупки на 1 700. 3) Цена выросла с 80 до 100 рублей. На сколько процентов? 4) Цена упала со 100 до 80. На сколько процентов?
1) 10 % = 240; 15 % = 240 + 120 = 360.
2) 1 % = 17, 3 % = 51.
3) Рост 20 рублей от старой цены 80: 20/80 = 25 %.
4) Падение 20 рублей от старой цены 100: 20 %.
Ответ: 240 и 360; 51; 25 %; 20 %.
Задачи 3 и 4 показывают ловушку: рост и падение на одни и те же 20 рублей дают разные проценты, потому что проценты считаются от разных чисел. Подробнее о процентах в статье о трёх задачах на проценты.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как быстро проверить, что посчитал правильно?
Прикинуть через 10 %. Если вышло, что 15 % от 1 200 это 1 800, ясно, что ошибка: 10 % всего 120, значит, 15 % должно быть меньше двухсот.
Где проценты встречаются на экзаменах?
В ОГЭ в практических задачах первой части и в текстовых задачах второй, в ЕГЭ по базовой и профильной математике, а в профиле ещё и в задачах про кредиты и вклады.