Метод интервалов для неравенств
Метод интервалов решает почти любое неравенство из школьной программы: квадратное, дробное, с несколькими скобками. Идея простая: выражение может сменить знак только в точках, где множитель обращается в ноль. Отмечаем эти точки на прямой и смотрим знак на каждом куске.
Для учеников 9–11 классов.
Как работает метод
- Перенести всё в одну сторону, чтобы справа был ноль.
- Разложить левую часть на множители (если это дробь, разложить числитель и знаменатель).
- Найти нули каждого множителя и отметить их на прямой.
- Определить знак в самом правом промежутке: подставить большое число.
- Расставить знаки справа налево. При переходе через корень знак меняется, если множитель стоит в нечётной степени.
- Выбрать промежутки с нужным знаком и записать ответ.
Квадратное неравенство
Задача
Решите неравенство x² − 5x + 6 < 0.
Раскладываем: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Корни 2 и 3.
Справа от 3, например при x = 10, оба множителя положительны, знак плюс. Между 2 и 3 минус, левее 2 снова плюс.
Нужен знак минус, это промежуток между корнями. Неравенство строгое, концы не включаем.
Ответ: (2; 3).
Задача
Решите неравенство (x − 2)(x + 3) > 0.
Нули: −3 и 2. Знаки справа налево: плюс, минус, плюс.
Нужен плюс, это два крайних промежутка.
Ответ: (−∞; −3) ∪ (2; +∞).
Дробное неравенство и выколотые точки
Нули знаменателя всегда выкалываем, даже в нестрогом неравенстве: на ноль делить нельзя. Нули числителя в нестрогом неравенстве включаем.
Задача
Решите неравенство (x − 1)/(x + 4) ≤ 0.
Нуль числителя x = 1, его включаем. Нуль знаменателя x = −4, его выкалываем.
Знаки справа налево: плюс, минус, плюс. Нужен минус или ноль.
Ответ: (−4; 1].
Главная ошибка: умножить обе части на знаменатель, как в уравнении. Знаменатель может быть отрицательным, и тогда знак неравенства переворачивается. Метод интервалов эту проблему обходит.
Чётные степени: знак не меняется
Если множитель стоит в квадрате, при переходе через его корень знак выражения не меняется: квадрат положителен с обеих сторон.
Задача
Решите неравенство (x − 3)²(x + 1) ≥ 0.
Нули: −1 и 3. Правее 3 знак плюс.
Через 3 проходим без смены знака (квадрат): между −1 и 3 тоже плюс. Через −1 знак меняется: левее минус.
Нужен плюс или ноль: промежуток от −1 вправо, точка 3 и так входит в него.
Ответ: [−1; +∞).
Если бы неравенство было строгим, (x − 3)²(x + 1) > 0, точку 3 пришлось бы выколоть отдельно: в ней выражение равно нулю. Ответ был бы (−1; 3) ∪ (3; +∞). На этом теряют баллы во второй части ЕГЭ.
Как проверить ответ
- Подставьте одно число из ответа и одно не из ответа. Первое должно подходить, второе нет.
- Проверьте концы: выколоты нули знаменателя, а в строгом неравенстве и нули числителя.
- Если перед x стоит минус, например (2 − x), вынесите минус или аккуратно определите знак справа. Иначе все знаки окажутся наоборот.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли решать квадратное неравенство через параболу?
Да, это тот же метод другими словами. Ветви параболы при a > 0 смотрят вверх, поэтому между корнями она ниже оси, а снаружи выше. Метод интервалов удобнее, когда множителей больше двух.
Где неравенства встречаются на экзаменах?
На ОГЭ во второй части и в первой части в виде выбора ответа. В профильном ЕГЭ отдельный номер второй части посвящён показательным, логарифмическим и рациональным неравенствам, и метод интервалов в нём главный инструмент.