Признаки делимости: все в одной таблице
Признаки делимости позволяют за секунду понять, делится ли число нацело, не деля его. Их проходят в 5–6 классе, а пригождаются они до конца школы: при сокращении дробей, разложении на множители и в последнем номере профильного ЕГЭ.
Для учеников 5–11 классов.
Таблица признаков
| Делится на | Признак | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная | 1 358 |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 741: 7 + 4 + 1 = 12 |
| 4 | число из двух последних цифр делится на 4 | 5 316: 16 |
| 5 | последняя цифра 0 или 5 | 2 345 |
| 6 | делится и на 2, и на 3 | 714 |
| 8 | число из трёх последних цифр делится на 8 | 17 120: 120 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 4 581: 18 |
| 10 | последняя цифра 0 | 930 |
| 11 | разность сумм цифр на чётных и нечётных местах делится на 11 | 918 082 |
| 25 | две последние цифры 00, 25, 50 или 75 | 3 475 |
Проверим одно число
Возьмём 7 524. Последняя цифра 4, число чётное. Сумма цифр 7 + 5 + 2 + 4 = 18: делится и на 3, и на 9. Две последние цифры 24 делятся на 4. Три последние 524 на 8 не делятся: 8 · 65 = 520. Значит, 7 524 делится на 2, 3, 4, 6, 9, но не на 8.
С одиннадцатью так: в числе 918 082 складываем цифры через одну с конца со сменой знака: 2 − 8 + 0 − 8 + 1 − 9 = −22. Число −22 делится на 11, значит, и 918 082 делится: получается 83 462.
Почему работает признак делимости на 3 и 9
Каждая степень десяти на единицу больше числа из девяток: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1. Поэтому 7 524 = 7 · 1 000 + 5 · 100 + 2 · 10 + 4 можно переписать как 7 · 999 + 5 · 99 + 2 · 9 плюс 7 + 5 + 2 + 4.
Первая часть точно делится на 9. Значит, всё число делится на 9 тогда и только тогда, когда делится сумма цифр. С тройкой то же самое, ведь 9 делится на 3.
Признаки для 4 и 8 работают потому, что 100 делится на 4, а 1 000 на 8: всё, что стоит левее двух или трёх последних цифр, на делимость уже не влияет.
Задача: вычеркнуть цифры
Задача
Вычеркните из числа 85 417 627 три цифры так, чтобы получилось число, которое делится на 18. Приведите пример.
18 = 2 · 9, поэтому число должно быть чётным, а сумма его цифр должна делиться на 9.
Сумма всех цифр: 8 + 5 + 4 + 1 + 7 + 6 + 2 + 7 = 40. После вычёркивания трёх цифр сумма должна стать 36 или 27, то есть вычёркиваем цифры с суммой 4 или 13.
Число кончается на 7, его придётся вычеркнуть, иначе оно нечётное. Тогда сумма двух других вычеркнутых цифр 13 − 7 = 6: подойдут 5 и 1.
Остаётся 84 762. Сумма цифр 27, число чётное. Проверка: 84 762 : 18 = 4 709.
Ответ: например, 84 762.
Такие рассуждения нужны в последнем номере профильного ЕГЭ, где задача о числах и их свойствах разбита на три пункта.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Есть ли признак делимости на 7?
Есть, но он неудобный: от числа десятков отнимают удвоенную последнюю цифру и повторяют. Для 7 быстрее просто разделить.
Как проверить делимость на 12 или 15?
Разложить делитель на взаимно простые множители и проверить каждый: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5. На 12 делится число, которое делится и на 3, и на 4.