Системы уравнений: подстановка и сложение
Система уравнений нужна, когда неизвестных два и связей между ними тоже две. В 7 классе её решают двумя способами: подстановкой и сложением. Разбираем оба, объясняем, когда какой удобнее, и решаем текстовую задачу.
Для учеников 7–9 классов.
Что значит решить систему
Решение системы это пара чисел, которая подходит сразу в оба уравнения. Если каждое уравнение изобразить графиком, решение это точка пересечения прямых.
- Прямые пересекаются: одно решение.
- Прямые параллельны: решений нет.
- Прямые совпадают: решений бесконечно много.
Метод подстановки
Из одного уравнения выражаем одну переменную и подставляем во второе. Удобно, когда в каком-то уравнении переменная стоит без коэффициента или уже выражена.
Задача
Решите систему: y = 2x − 1, 3x + 2y = 12.
y уже выражен. Подставляем во второе: 3x + 2(2x − 1) = 12.
3x + 4x − 2 = 12, 7x = 14, x = 2.
y = 2 · 2 − 1 = 3. Проверка: 3 · 2 + 2 · 3 = 12.
Ответ: (2; 3).
Метод сложения
Складываем или вычитаем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла. Если коэффициенты не подходят, сначала умножаем уравнения на нужные числа.
Задача
Решите систему: x + y = 7, x − y = 1.
Складываем: 2x = 8, x = 4.
Из первого: y = 7 − 4 = 3.
Ответ: (4; 3).
Задача
Решите систему: 2x + 3y = 13, 3x − 2y = 0.
Умножим первое на 2, второе на 3: 4x + 6y = 26 и 9x − 6y = 0.
Складываем: 13x = 26, x = 2.
Из второго: 3 · 2 − 2y = 0, y = 3. Проверка в первом: 4 + 9 = 13.
Ответ: (2; 3).
Текстовая задача на систему
Задача
3 тетради и 2 ручки стоят 130 ₽, а 2 тетради и 3 ручки 120 ₽. Сколько стоит тетрадь и сколько ручка?
Пусть тетрадь стоит t ₽, ручка r ₽. Тогда 3t + 2r = 130 и 2t + 3r = 120.
Сложим уравнения: 5t + 5r = 250, то есть t + r = 50.
Вычтем второе из первого: t − r = 10.
Отсюда t = 30, r = 20. Проверка: 90 + 40 = 130, 60 + 60 = 120.
Ответ: тетрадь 30 ₽, ручка 20 ₽.
Здесь пригодился приём, которого нет в учебнике: сначала сложить и вычесть уравнения целиком. Он работает, когда коэффициенты в уравнениях стоят зеркально.
Если одно уравнение не линейное
В 9 классе появляются системы с квадратами и произведениями. Почти всегда работает подстановка.
Задача
Решите систему: x + y = 5, xy = 6.
Из первого y = 5 − x. Подставляем: x(5 − x) = 6, то есть x² − 5x + 6 = 0.
x = 2 или x = 3. Соответственно y = 3 или y = 2.
Ответ: (2; 3) и (3; 2).
В ответе две пары. Записывать их нужно парами, а не просто перечислять числа.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Какой метод лучше?
Тот, что быстрее для конкретной системы. Если переменная уже выражена или стоит с коэффициентом 1, подстановка. Если коэффициенты при одной переменной равны или противоположны, сложение.
Как проверить решение системы?
Подставить найденную пару в оба уравнения. Проверка только в одном уравнении ничего не гарантирует: из него и выражали.