Наибольшее и наименьшее значение функции: 10 задач
Задача «найдите наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке» решается одним алгоритмом. Сложность обычно не в нём, а в вычислениях: экспонента, логарифм, неудобные концы отрезка. Разбираем алгоритм и десять задач разных типов.
Для 10–11 классов.
Алгоритм
- Найти производную функции.
- Найти точки, где производная равна нулю или не существует, и оставить те, что лежат на отрезке.
- Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
- Выбрать из них наибольшее или наименьшее.
Почему этого достаточно? Непрерывная функция на отрезке принимает наибольшее и наименьшее значение либо на концах, либо в точках, где её рост сменяется убыванием. А в таких точках производная равна нулю или не существует.
Многочлены
Задача
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = x³ − 3x² + 2 на отрезке [−1; 3].
y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Нули: 0 и 2, оба на отрезке.
y(−1) = −1 − 3 + 2 = −2; y(0) = 2; y(2) = 8 − 12 + 2 = −2; y(3) = 27 − 27 + 2 = 2.
Ответ: наибольшее 2, наименьшее −2.
Задача
Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 27x на отрезке [0; 4].
y′ = 3x² − 27 = 0, x = ±3. На отрезке только 3.
y(0) = 0; y(3) = 27 − 81 = −54; y(4) = 64 − 108 = −44.
Ответ: −54.
Задача
Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 12x + 7 на отрезке [0; 3].
y′ = 3x² − 12 = 0, x = ±2. На отрезке только 2.
y(0) = 7; y(2) = 8 − 24 + 7 = −9; y(3) = 27 − 36 + 7 = −2.
Ответ: −9.
Обратите внимание: точка x = −2 тоже обнуляет производную, но в отрезок не входит. Её не проверяют, иначе можно получить значение, которое функция на отрезке не принимает.
Экспонента и логарифм
Задача
Найдите наименьшее значение функции y = (x − 8)e^(x − 7) на отрезке [6; 8].
y′ = e^(x − 7) + (x − 8)e^(x − 7) = e^(x − 7)(x − 7). Ноль при x = 7.
y(7) = (7 − 8) · e⁰ = −1.
На концах: y(6) = −2/e, это примерно −0,74; y(8) = 0.
Ответ: −1.
Задача
Найдите наименьшее значение функции y = x − ln x на отрезке [1/2; 3].
y′ = 1 − 1/x = 0 при x = 1.
y(1) = 1 − 0 = 1. На концах: y(1/2) = 1/2 + ln 2 ≈ 1,19; y(3) = 3 − ln 3 ≈ 1,90.
Ответ: 1.
Подсказка ЕГЭ: ответ в первой части должен быть целым числом или конечной десятичной дробью. Значения вроде −2/e или 3 − ln 3 в ответ не пойдут. Поэтому, если в критической точке получилось «красивое» число, а на концах «некрасивые», ответ почти наверняка в критической точке. Но проверять концы всё равно нужно: так видно, что выбор верный.
Дробь и тригонометрия
Задача
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = x + 36/x на отрезке [1; 9].
y′ = 1 − 36/x² = 0, x² = 36, на отрезке x = 6.
y(6) = 6 + 6 = 12; y(1) = 37; y(9) = 9 + 4 = 13.
Ответ: наименьшее 12, наибольшее 37.
Задача
Найдите наибольшее значение функции y = 5 cos x − 6x + 4 на отрезке [0; 3π/2].
y′ = −5 sin x − 6. Так как sin x ≥ −1, −5 sin x ≤ 5, и y′ ≤ 5 − 6 = −1 < 0.
Функция всюду убывает, наибольшее значение в левом конце.
y(0) = 5 − 0 + 4 = 9.
Ответ: 9.
Последняя задача важна: у производной нет нулей, и алгоритм сводится к сравнению концов. Если функция монотонна, ответ всегда на краю отрезка. Пытаться решить уравнение −5 sin x = 6 бесполезно: у него нет корней.
Прикладные задачи
Задача
Из проволоки длиной 20 м нужно сделать забор прямоугольной формы. Какую наибольшую площадь можно огородить?
Пусть одна сторона x, другая 10 − x. Площадь S(x) = x(10 − x) = 10x − x², 0 < x < 10.
S′ = 10 − 2x = 0, x = 5. При переходе через 5 производная меняет знак с плюса на минус: это максимум.
S(5) = 25.
Ответ: 25 м², забор в форме квадрата.
Задача
Забор вдоль реки: огородить прямоугольный участок с трёх сторон, четвёртая сторона река. Есть 40 м сетки. Найдите наибольшую площадь.
Две стороны перпендикулярно реке по x, сторона вдоль реки 40 − 2x.
S = x(40 − 2x) = 40x − 2x². S′ = 40 − 4x = 0, x = 10.
S(10) = 10 · 20 = 200.
Ответ: 200 м².
Задачи на оптимизацию с реальным содержанием в 2027 году вошли во вторую часть профильного ЕГЭ отдельным номером. Схема та же: выразить величину через одну переменную, найти производную и исследовать.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Обязательно ли проверять концы отрезка?
Да. Наибольшее или наименьшее значение может оказаться на конце, даже если внутри есть критическая точка, как в задаче про y = x + 36/x, где наибольшее значение на левом конце.
Чем точка максимума отличается от наибольшего значения?
Точка максимума это значение x, где рост сменяется убыванием. Наибольшее значение это число y. В задачах часто спрашивают одно, а ученики пишут другое.