Первообразная и интеграл: 20 упражнений
Первообразная это обратная задача к производной: дана производная, нужно найти функцию. С её помощью считают площади фигур под графиками и путь по известной скорости. Тема проходится в 11 классе и встречается в ЕГЭ. Повторяем правила и решаем упражнения.
Для 11 класса.
Таблица и правила
- xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1), при n ≠ −1.
- 1/x → ln|x|.
- eˣ → eˣ.
- sin x → −cos x; cos x → sin x.
- Константа k → kx.
К каждой первообразной прибавляется произвольная постоянная C: производная константы равна нулю, поэтому первообразных бесконечно много, и все они отличаются сдвигом вверх или вниз.
Правила: первообразная суммы равна сумме первообразных, константа выносится за знак. Для f(kx + b) первообразная (1/k) · F(kx + b): например, для (2x + 1)³ это (2x + 1)⁴/8.
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Это формула Ньютона–Лейбница: определённый интеграл равен разности значений первообразной на концах. Геометрически это площадь под графиком положительной функции на отрезке [a; b].
Найдите первообразную
Задача
Найдите общий вид первообразной: 1) x³; 2) 6x² − 4x + 1; 3) cos x; 4) eˣ + 1/x (x > 0); 5) (2x + 1)³; 6) sin 3x; 7) 1/x².
1) x⁴/4 + C.
2) 2x³ − 2x² + x + C.
3) sin x + C.
4) eˣ + ln x + C.
5) (2x + 1)⁴/(4 · 2) = (2x + 1)⁴/8 + C.
6) −cos 3x / 3 + C.
7) x⁻² → x⁻¹/(−1) = −1/x + C.
Ответ: x⁴/4 + C; 2x³ − 2x² + x + C; sin x + C; eˣ + ln x + C; (2x + 1)⁴/8 + C; −(cos 3x)/3 + C; −1/x + C.
Проверка всегда одна и та же: продифференцируйте ответ. Должна получиться исходная функция. Например, (x⁴/4)′ = x³.
Первообразная через точку
Задача
1) Найдите первообразную функции f(x) = 2x, график которой проходит через точку (1; 5). 2) Найдите первообразную f(x) = 3x² − 1, для которой F(2) = 0.
1) F(x) = x² + C. F(1) = 1 + C = 5, C = 4. F(x) = x² + 4.
2) F(x) = x³ − x + C. F(2) = 8 − 2 + C = 0, C = −6. F(x) = x³ − x − 6.
Ответ: x² + 4; x³ − x − 6.
Определённый интеграл
Задача
Вычислите: 1) ∫₀² x² dx; 2) ∫₁³ (2x + 1) dx; 3) ∫₀^π sin x dx; 4) ∫₁ᵉ (1/x) dx; 5) ∫₋₁¹ x³ dx.
1) x³/3 от 0 до 2: 8/3.
2) x² + x от 1 до 3: (9 + 3) − (1 + 1) = 10.
3) −cos x от 0 до π: −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.
4) ln x от 1 до e: 1 − 0 = 1.
5) x⁴/4 от −1 до 1: 1/4 − 1/4 = 0.
Ответ: 8/3; 10; 2; 1; 0.
Пример 5 интересен: интеграл равен нулю, хотя площадь под графиком не нулевая. Слева от нуля график ниже оси, и эта площадь берётся со знаком минус. Поэтому для подсчёта площади нужно следить за знаком функции.
Площадь фигуры
Задача
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = x² и прямой y = 4.
Точки пересечения: x² = 4, x = ±2.
На отрезке [−2; 2] прямая выше параболы. Площадь равна интегралу разности: ∫₋₂² (4 − x²) dx.
Первообразная 4x − x³/3. В точке 2: 8 − 8/3 = 16/3. В точке −2: −8 + 8/3 = −16/3.
16/3 − (−16/3) = 32/3.
Ответ: 32/3.
Задача
Найдите площадь фигуры между графиками y = x и y = x².
Пересечения: x = x², x = 0 и x = 1.
На [0; 1] прямая выше: ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.
Ответ: 1/6.
Задача
Найдите площадь под графиком y = cos x на отрезке [0; π/2].
На этом отрезке cos x ≥ 0, площадь равна интегралу.
sin x от 0 до π/2: 1 − 0 = 1.
Ответ: 1.
Порядок решения задачи на площадь всегда один: нарисовать графики, найти точки пересечения, понять, какой график выше, и проинтегрировать разность «верхний минус нижний». Если фигура состоит из нескольких частей, где графики меняются местами, площадь считают по частям и складывают.
Путь по скорости
Задача
Скорость тела меняется по закону v(t) = 3t² (м/с). Какой путь пройдёт тело за первые 2 секунды?
Путь равен интегралу скорости: ∫₀² 3t² dt = t³ от 0 до 2 = 8.
Ответ: 8 м.
Связь с производной видна здесь лучше всего: скорость это производная пути, а путь это интеграл скорости. Те же два действия, только в разные стороны. Похожим образом по силе тока находят заряд, а по мощности работу.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Зачем прибавлять C?
Потому что у функции бесконечно много первообразных: x², x² + 1, x² − 7 имеют одну производную 2x. Запись с C описывает их все сразу. В определённом интеграле C сокращается, поэтому её не пишут.
Есть ли интеграл на ЕГЭ?
В профильном ЕГЭ встречаются задания на первообразную, например по графику первообразной найти что-то о функции. Сложные интегралы на ЕГЭ не дают, их изучают в вузе.