Векторы: 20 задач с решениями
Векторы в 2027 году занимают отдельное второе задание профильного ЕГЭ, а ещё встречаются в геометрии 9 класса и в методе координат для стереометрии. Формул немного, и все они сводятся к действиям с координатами. Разбираем их и решаем двадцать задач.
Для 9–11 классов.
Формулы
- Вектор AB по точкам: из координат конца вычесть координаты начала. A(x₁; y₁), B(x₂; y₂): AB(x₂ − x₁; y₂ − y₁).
- Длина: |a| = √(x² + y²), в пространстве √(x² + y² + z²).
- Сумма и разность по координатам, умножение на число: каждую координату умножаем на число.
- Скалярное произведение: a · b = x₁x₂ + y₁y₂, или a · b = |a| · |b| · cos φ.
- Угол: cos φ = (a · b)/(|a| · |b|).
Координаты и длина
Задача
1) Найдите длину вектора a(3; 4). 2) A(1; 2), B(4; 6). Найдите координаты и длину вектора AB. 3) Найдите координаты середины отрезка AB. 4) Найдите длину вектора a(1; 2; 2).
1) √(9 + 16) = 5.
2) AB(4 − 1; 6 − 2) = (3; 4), длина 5.
3) Среднее координат: ((1 + 4)/2; (2 + 6)/2) = (2,5; 4).
4) √(1 + 4 + 4) = 3.
Ответ: 5; (3; 4) и 5; (2,5; 4); 3.
Действия с векторами
Задача
a(2; −1), b(−3; 4). Найдите: 1) a + b; 2) 2a − b; 3) длину вектора a + b; 4) координаты вектора c, если a + c = b.
1) (2 − 3; −1 + 4) = (−1; 3).
2) (4; −2) − (−3; 4) = (7; −6).
3) √(1 + 9) = √10.
4) c = b − a = (−5; 5).
Ответ: (−1; 3); (7; −6); √10; (−5; 5).
Задача
1) Найдите координаты вектора длины 10, сонаправленного с b(3; 4). 2) A(0; 0), B(2; 1), D(1; 3) вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты C.
1) |b| = 5. Нужный вектор вдвое длиннее: 2b = (6; 8).
2) В параллелограмме BC = AD. AD = (1; 3), значит, C = B + AD = (2 + 1; 1 + 3) = (3; 4).
Ответ: (6; 8); (3; 4).
Приём из первой задачи называют нормированием: делим вектор на его длину и получаем вектор длины 1 того же направления, а потом умножаем на нужную длину. Во второй задаче работает равенство векторов: противоположные стороны параллелограмма это одинаковые векторы.
Скалярное произведение и угол
Задача
1) a(1; 2), b(3; −1). Найдите a · b. 2) При каком k векторы a(2; k) и b(3; −6) перпендикулярны? 3) Найдите угол между a(1; 0) и b(1; 1). 4) Найдите косинус угла между a(3; 4) и b(4; 3).
1) 1 · 3 + 2 · (−1) = 1.
2) 6 − 6k = 0, k = 1.
3) a · b = 1, |a| = 1, |b| = √2. cos φ = 1/√2, φ = 45°.
4) a · b = 12 + 12 = 24, длины по 5. cos φ = 24/25 = 0,96.
Ответ: 1; 1; 45°; 0,96.
Знак скалярного произведения сразу говорит об угле. Положительное значит острый угол, ноль прямой, отрицательное тупой. Это удобная проверка: если векторы на рисунке явно образуют тупой угол, а скалярное произведение вышло положительным, где-то ошибка.
Длина суммы без координат
Задача
|a| = 3, |b| = 4, a · b = 6. Найдите |a + b| и |a − b|.
|a + b|² = (a + b) · (a + b) = |a|² + 2a · b + |b|² = 9 + 12 + 16 = 37. |a + b| = √37.
|a − b|² = 9 − 12 + 16 = 13. |a − b| = √13.
Ответ: √37 и √13.
Задача
|a| = |b| = 2, угол между ними 60°. Найдите |a + b|.
a · b = 2 · 2 · cos 60° = 2.
|a + b|² = 4 + 4 + 4 = 12, |a + b| = 2√3.
Ответ: 2√3.
Приём «возвести в квадрат через скалярное произведение» главный в задачах, где координаты не даны. Он работает, потому что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Векторы в геометрии
Задача
Стороны квадрата ABCD равны 1. Найдите длину вектора AB + AD и скалярное произведение AB · AC.
По правилу параллелограмма AB + AD = AC, диагональ квадрата: √2.
Угол между AB и AC 45°: AB · AC = 1 · √2 · √2/2 = 1.
Ответ: √2 и 1.
Метод координат в стереометрии, где векторы помогают найти угол между прямой и плоскостью, показан в статье о стереометрии ЕГЭ.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Чем вектор отличается от отрезка?
У вектора есть направление. Векторы AB и BA имеют одинаковую длину, но противоположные направления и противоположные координаты.
Что такое коллинеарные векторы?
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. У них пропорциональные координаты: a(2; 3) и b(4; 6) коллинеарны, потому что b = 2a.
Векторы в 9 классе и в 11 одно и то же?
Основа одна. В 9 классе работают на плоскости с двумя координатами, в 10–11 добавляется третья координата z, и все формулы просто получают ещё одно слагаемое.
Как запомнить, из чего вычитать при нахождении координат?
«Конец минус начало». Вектор показывает, на сколько нужно сдвинуться от начала, чтобы попасть в конец.