Отрицательные числа: правила и 30 упражнений
Отрицательные числа появляются в 6 классе и сразу добавляют путаницы: два минуса подряд, минус перед скобкой, степень с минусом. Хорошая новость: правил всего четыре, и их легко понять через градусник и долги. Разбираем правила и решаем 30 упражнений с ответами.
Для 6–7 классов.
Что такое отрицательное число
Представьте градусник. Ноль посередине, вверх тепло, вниз мороз. Если было −3 °C и потеплело на 5 градусов, стало +2. Если было +2 и похолодало на 7, стало −5. Сложение с отрицательным числом это движение вниз по градуснику, сложение с положительным движение вверх.
Второй образ долг. Если у вас 100 рублей, а долг 150, ваше «состояние» −50. Отдать долг значит вычесть отрицательное число: −50 − (−50) = 0. Вычесть минус это то же, что прибавить.
Модуль числа это расстояние от нуля, без знака: |−7| = 7, |7| = 7. Модуль никогда не бывает отрицательным.
Четыре правила
- Одинаковые знаки при сложении: складываем модули, ставим общий знак. −5 + (−8) = −13.
- Разные знаки при сложении: из большего модуля вычитаем меньший, ставим знак числа с большим модулем. −7 + 3 = −4; 9 + (−4) = 5.
- Вычитание: заменяем на сложение с противоположным числом. 6 − 11 = 6 + (−11) = −5; −4 − (−9) = −4 + 9 = 5.
- Умножение и деление: одинаковые знаки дают плюс, разные минус. (−3) · (−7) = 21; −48 : 6 = −8.
Сложение и вычитание
Задача
Вычислите: 1) −7 + 3; 2) −5 − 8; 3) 6 − 11; 4) −4 − (−9); 5) −12 + (−6); 6) 15 + (−15); 7) −2,5 + 4; 8) −1/2 − 1/3.
1) Разные знаки: 7 − 3 = 4, знак минуса: −4.
2) −5 + (−8) = −13.
3) 6 + (−11) = −5.
4) −4 + 9 = 5.
5) −18.
6) Противоположные числа дают 0.
7) 4 − 2,5 = 1,5.
8) −3/6 − 2/6 = −5/6.
Ответ: −4; −13; −5; 5; −18; 0; 1,5; −5/6.
Умножение, деление и степени
Задача
Вычислите: 1) (−3) · (−7); 2) −48 : 6; 3) −6 · 5 · (−2); 4) (−2)³; 5) (−2)⁴; 6) −2⁴; 7) (−1)¹⁰⁰; 8) (−1)¹⁰¹.
1) Минус на минус: 21.
2) Разные знаки: −8.
3) Два минуса дают плюс: 60.
4) (−2) · (−2) · (−2) = −8: нечётное число минусов.
5) Четыре минуса: 16.
6) Здесь в степень возводится только двойка, минус стоит перед результатом: −16.
7) Чётная степень: 1. 8) Нечётная: −1.
Ответ: 21; −8; 60; −8; 16; −16; 1; −1.
Правило для произведения: считайте минусы. Чётное количество даёт плюс, нечётное минус. Это быстрее, чем перемножать знаки попарно.
Выражения и модули
Задача
Найдите значение: 1) −3 · 4 − (−20) : 5; 2) |−15| − |4|; 3) |3 − 8| + |−2|; 4) −(−(−5)); 5) (−8 + 3) · (−2 − 4).
1) −12 − (−4) = −12 + 4 = −8.
2) 15 − 4 = 11.
3) |−5| + 2 = 5 + 2 = 7.
4) Три минуса: −5.
5) (−5) · (−6) = 30.
Ответ: −8; 11; 7; −5; 30.
Задачи
Задача
Утром было −8 °C, днём +5 °C. На сколько градусов потеплело?
Из конечной температуры вычитаем начальную: 5 − (−8) = 13.
Ответ: на 13 градусов.
Задача
Найдите расстояние между точками A(−3) и B(5) на координатной прямой.
Расстояние равно модулю разности координат: |5 − (−3)| = 8.
Ответ: 8.
Задача
Сравните числа: −0,5 и −0,7; −3 и 0; −1/2 и −1/3.
Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.
−0,5 > −0,7; −3 < 0; −1/2 < −1/3, потому что 1/2 > 1/3.
Ответ: −0,5 > −0,7; −3 < 0; −1/2 < −1/3.
Задача
Подводная лодка находилась на глубине 120 м, то есть на отметке −120 м. Она поднялась на 45 м, а затем опустилась на 70 м. На какой отметке она оказалась?
−120 + 45 = −75.
−75 − 70 = −145.
Ответ: −145 м, то есть на глубине 145 м.
Последнее сравнение часто решают наоборот. Проверьте на градуснике: −5 °C теплее, чем −7 °C, значит, −5 больше. А в задаче про подводную лодку удобно рисовать вертикальную ось: подъём это стрелка вверх, погружение вниз.
Ловушки
- Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в скобке: −(3 − x) = −3 + x.
- −a не обязательно отрицательное. Если a = −4, то −a = 4.
- Квадрат с минусом. На калькуляторе и в уме −3² = −9, а (−3)² = 9.
- Двойной минус в записи: 5 − −3 так не пишут, нужны скобки: 5 − (−3) = 8.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему минус на минус даёт плюс?
Одно из объяснений через противоположности. Умножить на −1 значит развернуть число в обратную сторону. Развернуть дважды значит вернуться к исходному направлению. Поэтому (−1) · (−1) = 1.
Где отрицательные числа встречаются в жизни?
Температура зимой, высота ниже уровня моря, этажи подземной парковки, баланс телефона в минусе, проигрыш очков в игре. Чем больше таких примеров ребёнок назовёт сам, тем легче ему с правилами.
Ребёнок путает правила сложения. Что делать?
Решать через градусник или числовую прямую, рисуя стрелки. Через неделю-две правило начнёт работать без картинки.