Порядок действий: правила и 25 примеров
Порядок действий кажется темой начальной школы, но ошибки в нём встречаются на ОГЭ и даже у взрослых: в интернете регулярно спорят о примерах вроде 8 : 2(2 + 2). Разбираем правила, показываем ловушки и тренируемся на 25 выражениях с ответами.
Для 4–7 классов.
Правила
- Сначала выполняются действия в скобках. Если скобки вложенные, начинаем с внутренних.
- Потом возведение в степень.
- Потом умножение и деление, по порядку слева направо.
- Последними сложение и вычитание, тоже слева направо.
Самое важное и самое забываемое: умножение не «старше» деления, а сложение не «старше» вычитания. Они равноправны и выполняются в том порядке, в каком записаны. Поэтому 120 : 2 · 6 = 60 · 6 = 360, а не 120 : 12 = 10.
Хорошая привычка: перед вычислением надписать над знаками номера действий. Это занимает десять секунд и снимает половину ошибок.
Разминка
Разминка
Вычислите: 1) 6 + 4 · (10 − 7); 2) 48 − 18 : 3 · 2; 3) 120 : (2 · 6); 4) 120 : 2 · 6; 5) 100 − 5 · 4 + 36 : 9; 6) 50 − 30 − 10.
1) Скобки 3, умножение 12, сложение 18.
2) 18 : 3 = 6, 6 · 2 = 12, 48 − 12 = 36.
3) Скобки 12, 120 : 12 = 10.
4) Слева направо: 60 · 6 = 360.
5) 20 и 4, потом 100 − 20 + 4 = 84.
6) Слева направо: 20 − 10 = 10, а не 50 − 20 = 30.
Ответ: 18; 36; 10; 360; 84; 10.
Со степенями
Задача
Вычислите: 1) 2 + 3² · 2; 2) (2 + 3)²; 3) 2 · 5² − (3 + 1)² : 8; 4) 10² − 10 · 2³; 5) (−1)² + 2³ · 0.
1) 3² = 9, 9 · 2 = 18, 2 + 18 = 20.
2) Скобки 5, 5² = 25.
3) 5² = 25, 2 · 25 = 50; (4)² = 16, 16 : 8 = 2; 50 − 2 = 48.
4) 100 − 10 · 8 = 100 − 80 = 20.
5) 1 + 8 · 0 = 1.
Ответ: 20; 25; 48; 20; 1.
Длинные выражения
Задача
Вычислите: 1) 7 · 8 − 4 · (15 − 9) : 3; 2) 3 · (12 − 2 · 4) + 18 : (5 + 4); 3) 1000 − 25 · (96 : 12 + 32); 4) (360 : 4 − 15) : 25 · 4.
1) Скобки 6; 7 · 8 = 56; 4 · 6 = 24; 24 : 3 = 8; 56 − 8 = 48.
2) В первых скобках 12 − 8 = 4, во вторых 9; 3 · 4 = 12; 18 : 9 = 2; 12 + 2 = 14.
3) В скобках 8 + 32 = 40; 25 · 40 = 1000; 1000 − 1000 = 0.
4) В скобках 90 − 15 = 75; 75 : 25 = 3; 3 · 4 = 12.
Ответ: 48; 14; 0; 12.
Задача
Вычислите с дробями: 1) 1/2 + 1/2 · 1/2; 2) (1/2 + 1/2) · 1/2; 3) 0,5 + 0,5 : 0,5.
1) 1/4 + 1/2 = 3/4.
2) 1 · 1/2 = 1/2.
3) 0,5 : 0,5 = 1, 0,5 + 1 = 1,5.
Ответ: 3/4; 1/2; 1,5.
Знаменитый спор: 8 : 2(2 + 2)
Пример 8 : 2(2 + 2) периодически взрывает соцсети: одни получают 16, другие 1. По школьным правилам ответ 16: скобки 4, дальше слева направо 8 : 2 = 4, 4 · 4 = 16.
Те, кто получает 1, считают, что умножение без знака, «приклеенное» к скобке, выполняется раньше деления: 8 : (2 · 4). В некоторых научных текстах так действительно принято, и запись неоднозначна. Поэтому математики так не пишут: правильная запись (8 : 2)(2 + 2) или 8 : (2(2 + 2)), а в школе дробная черта убирает все сомнения.
Мораль: если запись может пониматься двояко, это недостаток записи, а не повод для спора. Ставьте скобки так, чтобы порядок был очевиден. Ещё несколько спорных примеров из интернета разобраны в статье о математике в мемах.
Расставьте скобки
Задача
Расставьте скобки так, чтобы равенство стало верным: 1) 12 − 4 · 2 = 16; 2) 36 : 6 − 2 = 9; 3) 2 + 3 · 4 − 1 = 15.
1) (12 − 4) · 2 = 8 · 2 = 16.
2) 36 : (6 − 2) = 36 : 4 = 9.
3) Попробуем (2 + 3) · (4 − 1) = 5 · 3 = 15.
Ответ: (12 − 4) · 2; 36 : (6 − 2); (2 + 3) · (4 − 1).
Такие задания хорошо развивают понимание порядка действий: ребёнок видит, как скобки меняют результат. Можно играть дома: один придумывает пример с ответом, другой расставляет скобки.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Есть ли запоминалка для порядка действий?
Можно запомнить цепочку «скобки, степени, умножение-деление, сложение-вычитание». Главное помнить, что внутри пар действия идут слева направо.
Как действует калькулятор?
Инженерные калькуляторы и калькулятор в телефоне в обычном режиме соблюдают порядок действий. А простые бухгалтерские калькуляторы считают по мере ввода, поэтому 2 + 3 · 4 могут выдать 20 вместо 14.