Задачи на части и пропорции: 15 решений
Задачи на части и пропорции встречаются с 5 класса до ОГЭ, а потом и в жизни: пересчитать рецепт, понять масштаб карты, разделить расходы. Решаются они одним приёмом: найти, сколько приходится на одну часть, и дальше умножать. Разбираем три типа задач и решаем пятнадцать примеров.
Для 5–7 классов.
Задачи на части
Если в условии сказано «на 2 части ягод берут 3 части сахара», значит, вся смесь состоит из 2 + 3 = 5 одинаковых частей. Узнаём, сколько весит одна часть, и находим остальное.
Задача
Для варенья берут 2 части ягод и 3 части сахара. Сколько ягод и сахара в 10 кг смеси?
Всего частей 2 + 3 = 5.
Одна часть 10 : 5 = 2 кг.
Ягод 2 · 2 = 4 кг, сахара 3 · 2 = 6 кг.
Ответ: 4 кг ягод и 6 кг сахара.
Задача
Отрезок длиной 56 см разделили в отношении 3 : 4. Найдите длины частей.
Частей 3 + 4 = 7, одна часть 56 : 7 = 8 см.
3 · 8 = 24 см, 4 · 8 = 32 см.
Ответ: 24 см и 32 см.
Задача
Сплав содержит медь и цинк в отношении 5 : 2. Меди на 18 кг больше, чем цинка. Какова масса сплава?
Разница 5 − 2 = 3 части, и это 18 кг.
Одна часть 18 : 3 = 6 кг.
Меди 30 кг, цинка 12 кг, всего 42 кг.
Ответ: 42 кг.
Задача
Три друга скинулись на подарок в отношении 2 : 3 : 5, всего 2000 рублей. Сколько дал каждый?
Частей 10, одна часть 200 рублей.
400, 600 и 1000 рублей.
Ответ: 400, 600 и 1000 рублей.
Прямая пропорциональность
Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Цена и количество товара, путь и время при постоянной скорости, порции и продукты.
Задача
3 кг яблок стоят 270 рублей. Сколько стоят 5 кг?
1 кг: 270 : 3 = 90 рублей.
5 кг: 90 · 5 = 450 рублей.
Ответ: 450 рублей.
Задача
На 4 порции блинов нужно 300 г муки. Сколько муки нужно на 6 порций?
Пропорция: 4/300 = 6/x.
x = 300 · 6 : 4 = 450 г.
Ответ: 450 г.
Задача
Поезд за 3 часа проехал 240 км. Сколько он проедет за 5 часов с той же скоростью?
Скорость 240 : 3 = 80 км/ч.
80 · 5 = 400 км.
Ответ: 400 км.
Обратная пропорциональность
Величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается. Число рабочих и время работы, скорость и время в пути.
Задача
4 рабочих выполняют работу за 12 дней. За сколько дней сделают ту же работу 6 рабочих?
Вся работа 4 · 12 = 48 человеко-дней.
48 : 6 = 8 дней.
Ответ: 8 дней.
Задача
Со скоростью 60 км/ч путь занимает 3 часа. Сколько времени займёт путь со скоростью 90 км/ч?
Путь 60 · 3 = 180 км.
180 : 90 = 2 часа.
Ответ: 2 часа.
Задача
Запаса корма хватит 12 кроликам на 30 дней. На сколько дней хватит того же корма 18 кроликам?
Всего корма 12 · 30 = 360 «кроличьих дней».
360 : 18 = 20 дней.
Ответ: на 20 дней.
Как отличить прямую пропорциональность от обратной? Спросите себя: если первую величину увеличить, вторая вырастет или уменьшится? Больше рабочих, меньше дней: обратная.
Масштаб
Масштаб 1 : 50 000 значит, что 1 см на карте это 50 000 см на местности, то есть 500 м.
Задача
Расстояние на карте с масштабом 1 : 50 000 равно 7 см. Каково расстояние на местности?
7 · 50 000 = 350 000 см.
350 000 см = 3500 м = 3,5 км.
Ответ: 3,5 км.
Задача
Длина комнаты 6 м. Какой длины она будет на плане в масштабе 1 : 200?
6 м = 600 см.
600 : 200 = 3 см.
Ответ: 3 см.
Задача
Расстояние между городами 120 км, на карте 4 см. Найдите масштаб карты.
120 км = 12 000 000 см.
12 000 000 : 4 = 3 000 000.
Ответ: 1 : 3 000 000.
Советы
- Всегда начинайте с вопроса «сколько приходится на одну часть?».
- В задачах на масштаб сначала переведите всё в сантиметры, а ответ в нужные единицы.
- Проверяйте ответ сложением: части должны дать целое.
- Если ответ получился нелепым, например 2 000 рабочих или 0,3 человека, проверьте, прямая там пропорциональность или обратная.
Задачи на совместную работу, где пропорциональность сложнее, разобраны в статье о совместной работе.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Чем отношение отличается от пропорции?
Отношение это частное двух чисел, например 3 : 4. Пропорция это равенство двух отношений: 3 : 4 = 6 : 8. В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, на этом строится решение.
Можно ли решать такие задачи уравнением?
Да. Обозначьте одну часть за x и составьте уравнение: в задаче про варенье 2x + 3x = 10. Способ через части по сути то же уравнение, только записанное словами. В 7 классе удобнее писать уравнение, в 5 классе понятнее рассуждать частями.
Где пропорции встречаются на ОГЭ?
В практических заданиях 1–5 (планы, карты, тарифы), в задачах на проценты и в геометрии, где подобные треугольники дают пропорциональные стороны.