Уравнения 5–7 класс: 25 решений по шагам
Уравнение это вопрос «какое число спрятано за буквой». В 5 классе ответ находят по правилам нахождения неизвестного слагаемого и множителя, в 7 классе переносом через знак равенства. Ниже уравнения разных типов с полными решениями, а в конце задачи, где уравнение нужно составить самому.
Для 5–7 классов.
Как решать
- Раскрыть скобки.
- Если есть дроби, умножить обе части на общий знаменатель.
- Перенести слагаемые с x в одну сторону, числа в другую, меняя знак при переносе.
- Привести подобные.
- Разделить обе части на коэффициент при x.
- Сделать проверку подстановкой.
Почему при переносе меняется знак? Потому что мы прибавляем или вычитаем одно и то же число из обеих частей. Было 3x + 5 = 26, вычли 5 из обеих частей, получили 3x = 21. Выглядит так, будто пятёрка «перепрыгнула» со сменой знака.
Простейшие уравнения
Задача
Решите: 1) x + 17 = 45; 2) 63 − x = 28; 3) 4x = 92; 4) x : 7 = 13; 5) 120 : x = 8.
1) Неизвестное слагаемое: x = 45 − 17 = 28.
2) Неизвестное вычитаемое: x = 63 − 28 = 35.
3) Неизвестный множитель: x = 92 : 4 = 23.
4) Неизвестное делимое: x = 13 · 7 = 91.
5) Неизвестный делитель: x = 120 : 8 = 15.
Ответ: 28; 35; 23; 91; 15.
Перенос и скобки
Задача
Решите: 1) 3x + 5 = 26; 2) 5x − 9 = 2x + 12; 3) 2(x − 3) = 14; 4) 7 − 3(x + 1) = −8; 5) 4(x + 2) − 3(x − 1) = 15.
1) 3x = 21, x = 7.
2) 5x − 2x = 12 + 9, 3x = 21, x = 7.
3) 2x − 6 = 14, 2x = 20, x = 10.
4) 7 − 3x − 3 = −8, 4 − 3x = −8, −3x = −12, x = 4.
5) 4x + 8 − 3x + 3 = 15, x + 11 = 15, x = 4.
Ответ: 7; 7; 10; 4; 4.
В примере 4 типичная ошибка: раскрыть −3(x + 1) как −3x + 3. Минус перед скобкой умножается на каждое слагаемое: −3 · x = −3x и −3 · 1 = −3.
Уравнения с дробями
Задача
Решите: 1) 0,5x + 2 = 3,5; 2) x/3 + x/4 = 7; 3) (x + 2)/5 = (x − 1)/2; 4) 3/x = 12/20.
1) 0,5x = 1,5, x = 3.
2) Умножаем на 12: 4x + 3x = 84, 7x = 84, x = 12.
3) Это пропорция, перемножаем крест-накрест: 2(x + 2) = 5(x − 1), 2x + 4 = 5x − 5, 9 = 3x, x = 3.
4) Пропорция: 12x = 60, x = 5.
Ответ: 3; 12; 3; 5.
Проверим пример 3: (3 + 2)/5 = 1 и (3 − 1)/2 = 1. Сошлось. Проверка подстановкой занимает полминуты и спасает от обидных ошибок.
Особые случаи
Задача
Решите: 1) |x| = 6; 2) |x − 2| = 5; 3) |x + 1| = −3; 4) 3x − 2 = 3x + 1; 5) 2(x + 1) = 2x + 2.
1) Модуль равен 6 у двух чисел: x = 6 или x = −6.
2) x − 2 = 5 или x − 2 = −5, откуда x = 7 или x = −3.
3) Модуль не бывает отрицательным: корней нет.
4) 3x − 3x = 1 + 2, 0 = 3. Неверное равенство: корней нет.
5) 2x + 2 = 2x + 2, 0 = 0. Верно при любом x: корнем является любое число.
Ответ: ±6; 7 и −3; нет корней; нет корней; любое число.
Составьте уравнение
Задача
Задумали число, умножили его на 3 и прибавили 8. Получилось 50. Какое число задумали?
Пусть число x. Тогда 3x + 8 = 50.
3x = 42, x = 14.
Ответ: 14.
Задача
У Пети в 3 раза больше марок, чем у Васи, а вместе у них 64 марки. Сколько марок у каждого?
Пусть у Васи x марок, у Пети 3x.
x + 3x = 64, 4x = 64, x = 16.
У Пети 48.
Ответ: у Васи 16, у Пети 48.
Задача
Периметр прямоугольника 46 см, длина на 5 см больше ширины. Найдите стороны.
Ширина x, длина x + 5.
2(x + x + 5) = 46, 2x + 5 = 23, x = 9.
Длина 14.
Ответ: 9 см и 14 см.
Задача
Мама старше дочери на 26 лет, а вместе им 46 лет. Сколько лет каждой?
Пусть дочери x лет, маме x + 26.
x + x + 26 = 46, 2x = 20, x = 10.
Маме 36 лет.
Ответ: дочери 10, маме 36.
Главное в текстовой задаче: обозначить за x меньшую или «базовую» величину, через которую выражаются остальные. Подробнее о том, как учить ребёнка таким задачам, в статье о текстовых задачах.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Обязательно ли делать проверку?
В школе часто требуют, а на экзамене это лучший способ не потерять балл. Особенно важна проверка в уравнениях с дробями и модулями, где легко получить лишний корень.
Чем уравнение отличается от выражения?
В уравнении есть знак равенства и неизвестное, которое нужно найти. В выражении нужно только посчитать или упростить.