Парадокс Монти Холла: менять дверь или нет

Задача

Вы участвуете в телеигре. Перед вами три закрытые двери: за одной автомобиль, за двумя другими козы. Вы выбираете дверь, например, первую. Ведущий, который знает, где машина, открывает одну из оставшихся дверей, и там коза. Теперь он предлагает: «Хотите сменить выбор на другую закрытую дверь?»

Выгодно ли менять? Большинство отвечает: «Неважно, осталось две двери, шансы 50 на 50». Это неверно.

Решение

Когда вы выбирали, шанс угадать машину был 1/3. Значит, с вероятностью 2/3 машина за одной из двух других дверей. Ведущий открывает из них ту, где коза. Он всегда может это сделать и никогда не откроет машину. Вероятность 2/3 никуда не девается: она целиком переходит на оставшуюся закрытую дверь.

Из трёх равновероятных вариантов смена выбора выигрывает в двух. Итог: 2/3 против 1/3.

Если всё ещё не верится

Представьте 100 дверей. Вы выбрали одну. Ведущий открывает 98 других, и везде козы. Осталась ваша дверь и ещё одна. Вы правда думаете, что угадали с первого раза из ста? Конечно, машина почти наверняка за той единственной дверью, которую ведущий старательно обошёл.

Скандал 1990 года

Задачу назвали по имени ведущего американской телеигры Монти Холла. В 1990 году её разобрала в журнале Parade колумнистка Мэрилин вос Савант и ответила: менять. Редакция получила около десяти тысяч писем, среди них почти тысяча от людей с учёными степенями, и многие уверяли, что она ошиблась.

Даже великий математик Пал Эрдёш, по воспоминаниям коллег, поверил в ответ только после того, как увидел компьютерную симуляцию. Так что если интуиция спорит, вы в хорошей компании.

Проверьте сами

Возьмите три карты: туз и две двойки. Пусть один человек раскладывает их рубашкой вверх и знает, где туз, а другой играет. Сыграйте 30 раз, меняя выбор, и 30 раз, не меняя. Смена принесёт туз примерно в 20 случаях из 30.

Если хочется разобраться в вероятностях как следует, начните со статьи о теории вероятностей для ЕГЭ.

Частые вопросы