Параметр графически: решаем задачу с модулем

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x² − 4x + 3| = ax имеет ровно три различных корня.

Левая часть не зависит от a, а правая это прямая y = ax, проходящая через начало координат с наклоном a. Значит, число корней равно числу точек пересечения графика y = |x² − 4x + 3| с этой прямой. Прямая вращается вокруг точки O, и мы ищем положения, где точек пересечения ровно три.

Шаг 1. Строим график левой части

Сначала парабола y = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Ветви вверх, корни 1 и 3, вершина в точке x = 2, y = −1, пересечение с осью Oy в точке (0; 3).

Модуль отражает всё, что ниже оси Ox, вверх. Отрицательна парабола только между корнями, на интервале (1; 3). Там график становится «горбом» y = −x² + 4x − 3 с вершиной (2; 1). Слева от 1 и справа от 3 остаются ветви исходной параболы.

Получилась фигура, похожая на букву W с округлым средним горбом: спуск от (0; 3) до (1; 0), горб высотой 1 до (3; 0) и подъём вправо.

Шаг 2. Вращаем прямую

Посмотрим, как меняется число пересечений при разных a.

• a < 0. Прямая идёт вниз вправо. При x > 0 она ниже оси Ox, а график неотрицателен, пересечений нет. При x < 0 она может пересечь левую ветвь параболы, но трёх точек не будет: максимум две.
• a = 0. Прямая совпадает с осью Ox и касается графика в точках 1 и 3. Два корня.
• Маленькое a > 0. Прямая чуть приподнята. Она пересекает спуск на участке (0; 1), дважды пересекает горб и ещё раз правую ветвь. Четыре корня.
• a растёт. Прямая поднимается и в какой-то момент касается горба. Два пересечения с горбом сливаются в одно. Три корня, это то, что мы ищем.
• a ещё больше. Прямая проходит выше горба: пересечения только со спуском и правой ветвью. Два корня.

Значит, ответ это значение a, при котором прямая y = ax касается горба. Найдём его.

Шаг 3. Находим касание

На интервале (1; 3) уравнение выглядит так:

−x² + 4x − 3 = ax x² + (a − 4)x + 3 = 0

Касание означает, что у этого квадратного уравнения ровно один корень, то есть дискриминант равен нулю:

D = (a − 4)² − 12 = 0 ⇒ a − 4 = ±2√3

Получаем a = 4 + 2√3 или a = 4 − 2√3. Проверим, где точка касания: x = (4 − a)/2.

• При a = 4 − 2√3 точка касания x = √3 ≈ 1,73. Она лежит на интервале (1; 3), это касание горба. Подходит.
• При a = 4 + 2√3 точка касания x = −√3 отрицательная и на горб не попадает. Не подходит.

Шаг 4. Проверяем остальные участки алгеброй

Графическое рассуждение надо подкрепить, иначе проверяющий не поставит полный балл. Проверим, что при a > 0 на участках x ≤ 1 и x ≥ 3 всегда ровно два корня.

x² − 4x + 3 = ax ⇒ g(x) = x² − (4 + a)x + 3 = 0

Посчитаем g(1) = 1 − 4 − a + 3 = −a и g(3) = 9 − 12 − 3a + 3 = −3a. При a > 0 оба значения отрицательны. Парабола g с ветвями вверх отрицательна в точках 1 и 3, значит, один её корень меньше 1, а второй больше 3. Произведение корней по теореме Виета равно 3, оно положительно, поэтому меньший корень тоже положителен. Итак, на этих участках ровно два корня при любом a > 0.

На горбе при 0 < a < 4 − 2√3 дискриминант положителен, и оба корня лежат в (1; 3): уравнение h(x) = x² + (a − 4)x + 3 даёт h(1) = a > 0, h(3) = 3a > 0, а вершина (4 − a)/2 лежит между 1 и 3. Всего четыре корня. При a = 4 − 2√3 один корень на горбе, всего три. При больших a на горбе корней нет.

Ответ: a = 4 − 2√3

Как готовиться к параметрам

• Уверенно строить графики: параболы, модули, гиперболы, окружности и их сдвиги. Без этого графический метод не работает.
• Узнавать семейства: y = ax прямые через начало, y = x + a параллельные прямые, (x − a)² + y² = 1 окружности, которые едут вдоль оси.
• Помнить условия касания: дискриминант равен нулю или равенство производных.
• Каждое графическое наблюдение подтверждать вычислением, как в шаге 4.

Параметр требует уверенной первой части и хорошей техники в уравнениях и неравенствах. Начинать работу над ним стоит, когда задания 14 и 16 уже решаются стабильно. Как устроен экзамен 2027 года по номерам, рассказали в статье о профильной математике.

Частые вопросы