Задача о числах в ЕГЭ: оценка плюс пример

Как устроено задание

Задание состоит из трёх вопросов про один сюжет: набор чисел, доска с числами, оценки учеников, карточки. Пункты а и б обычно спрашивают «может ли…?». На такой вопрос отвечают либо примером, если может, либо доказательством, если не может. Пункт в спрашивает «какое наибольшее (наименьшее)…?» и требует двух частей.

• Оценка. Доказать, что больше (меньше) какого-то значения быть не может.
• Пример. Показать набор, где это значение достигается.

Без любой из двух частей пункт в не засчитывают полностью. Оценка без примера не доказывает, что значение достижимо, а пример без оценки не доказывает, что лучше нельзя.

Условие

Дан набор из n различных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно 10. а) Может ли n быть равным 19? б) Может ли n быть равным 20? в) Пусть n = 10. Какое наибольшее число может быть в наборе?

Первое, что стоит сделать в любой такой задаче: перевести условие в уравнение. Среднее равно 10, значит, сумма всех чисел равна 10n. Это главный факт, на котором держится всё решение.

Пункт а

При n = 19 сумма должна быть 190. Числа различные и натуральные, значит, самые маленькие из возможных это 1, 2, 3, …, 19. Их сумма по формуле суммы арифметической прогрессии:

1 + 2 + … + 19 = 19 · 20 / 2 = 190

Ровно 190! Значит, набор 1, 2, …, 19 подходит: числа различные, натуральные, среднее 190 : 19 = 10. Ответ: да, может. Пример найден, и это полное решение пункта.

Пункт б

При n = 20 сумма должна быть 200. Но 20 различных натуральных чисел в сумме дают не меньше, чем 1 + 2 + … + 20:

1 + 2 + … + 20 = 20 · 21 / 2 = 210 > 200

Даже самый «дешёвый» набор уже больше нужной суммы. Значит, такого набора нет. Ответ: нет, не может.

Здесь мы увидели общую идею: наименьшая сумма n различных натуральных чисел равна n(n + 1)/2. Условие n(n + 1)/2 ≤ 10n даёт n + 1 ≤ 20, то есть n ≤ 19. Пункты а и б вместе показали, что 19 это ровно граница.

Пункт в

При n = 10 сумма чисел равна 100. Чтобы самое большое число было как можно больше, остальные девять должны быть как можно меньше.

Оценка

Пусть наибольшее число M. Остальные девять чисел различные натуральные, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 9 = 45. Тогда M = 100 − (сумма остальных) ≤ 100 − 45 = 55.

Пример

Набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 55: десять различных натуральных чисел, сумма 45 + 55 = 100, среднее 10, наибольшее 55.

Ответ: а) да; б) нет; в) 55

Идеи, которые повторяются

• Минимальная сумма различных чисел. Как в нашей задаче: n различных натуральных в сумме не меньше n(n + 1)/2.
• Чётность. Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна. Часто именно чётность запрещает какой-то вариант в пункте б.
• Делимость и остатки. Если сумма должна делиться на 3, смотрят остатки чисел при делении на 3.
• Среднее арифметическое. Сразу переходить к сумме: среднее · количество.
• Крайние случаи. Чтобы одно число было наибольшим, остальные делают наименьшими, и наоборот.

Признаки делимости и работа с остатками собраны в таблице признаков делимости.

Стратегия на экзамене

Прочитайте условие и сразу попробуйте пункт а: часто достаточно подобрать пример. Если пример находится, запишите его и проверку, это уже балл. Пункт б обычно противоположен пункту а: если в а ответ «да», в б часто «нет», и нужно найти, что мешает. Пункт в оставляйте на конец: даже его оценка или пример без второй части может дать дополнительный балл.

Запись решения в таких задачах короткая, но аккуратная. Хорошая форма: «Ответ на пункт а: да. Пример: … Проверка: …». Для пункта в: «Оценка: … Значит, M ≤ 55. Пример: … Ответ: 55». Проверяющему должно быть сразу видно, где оценка, а где пример. Длинные рассуждения без структуры часто теряют балл, даже если по сути всё верно.

Тренироваться полезно на олимпиадных задачах 7–9 классов: многие идеи задания 20 оттуда. Они развивают привычку искать пример и не бояться слова «докажите».

Частые вопросы