ЕГЭ база: восемь типовых задач с решениями
Базовую математику сдают те, кому не нужна профильная для поступления, и экзамен действительно проверяет математику для жизни. Задачи короткие, ответ записывается числом, а оценка ставится по пятибалльной шкале. Разбираем восемь типовых задач, на которых держится экзамен, и рассказываем, где на них ошибаются.
Для 10–11 классов. Формат сверяйте с демоверсией ФИПИ своего года.
Как устроен экзамен
В базовом ЕГЭ 21 задание с кратким ответом, каждое стоит один балл. Результат переводится не в стобалльную шкалу, а в оценку. По шкале последних лет для тройки достаточно 7 верных заданий, для четвёрки 12, для пятёрки 17. Для поступления в вуз базовая математика не подходит: вузы, где нужна математика, требуют профильную. Как выбрать уровень, рассказали в статье о базе и профиле.
Главная опасность базы не сложность, а невнимательность. Задачи простые, но в каждой есть место, где легко ошибиться: единицы измерения, округление, лишние данные. Поэтому в разборах ниже мы отдельно отмечаем ловушки.
Задача 1. Выбор тарифа
Задача
Такси предлагает два тарифа. Первый: 150 ₽ за посадку и 20 ₽ за каждый километр. Второй: без платы за посадку, 30 ₽ за километр. Сколько рублей будет стоить поездка на 12 км по более выгодному тарифу?
Первый тариф: 150 + 20 · 12 = 150 + 240 = 390 ₽.
Второй тариф: 30 · 12 = 360 ₽.
Выгоднее второй.
Ответ: 360.
Ловушка: в ответ пишут не стоимость, а номер тарифа или разницу. Перечитывайте, что именно спрашивают.
Задача 2. Скидка в процентах
Задача
Футболка стоила 800 ₽, а после снижения цены стала стоить 680 ₽. На сколько процентов снизили цену?
Снижение: 800 − 680 = 120 ₽.
Проценты считаем от старой цены: 120 : 800 = 0,15.
0,15 это 15 %.
Ответ: 15.
Ловушка: делить на новую цену. Процент изменения всегда считают от того, что было до изменения. Подробнее о процентах в статье о трёх задачах на проценты.
Задача 3. Сколько упаковок купить
Задача
Врач прописал лекарство по 2 таблетки в день в течение 21 дня. В упаковке 20 таблеток. Какое наименьшее количество упаковок нужно купить на весь курс?
Всего таблеток: 2 · 21 = 42.
42 : 20 = 2,1 упаковки.
Купить 2,1 упаковки нельзя, двух не хватит, значит, нужно 3.
Ответ: 3.
Ловушка: округлить по правилам математики до 2. В задачах «сколько купить» округляют всегда вверх, а в задачах «сколько поместится» всегда вниз.
Задача 4. Вычисления
Задача
Найдите значение выражения 2,7 · 1,5 − 0,05.
2,7 · 1,5 = 4,05.
4,05 − 0,05 = 4.
Ответ: 4.
Калькулятор на экзамене запрещён, поэтому вычисления с десятичными дробями нужно тренировать. Удобно умножать без запятых, 27 · 15 = 405, а потом ставить запятую: в множителях было два знака после запятой, значит, и в произведении два.
Задача 5. Формула
Задача
Площадь треугольника вычисляется по формуле S = ½ · a · h. Найдите h, если a = 12, S = 30.
Подставляем: 30 = ½ · 12 · h.
30 = 6h.
h = 5.
Ответ: 5.
В задачах на формулы данные иногда даны в разных единицах, например часы и минуты, сантиметры и метры. Сначала переведите всё в одни единицы, потом подставляйте.
Задача 6. Вероятность
Задача
В коробке 25 конфет, из них 7 с вишнёвой начинкой, остальные с орехом. Какова вероятность, что случайно выбранная конфета будет с вишней?
Благоприятных исходов 7, всего исходов 25.
P = 7 / 25 = 0,28.
Ответ: 0,28.
Ловушка: в похожей задаче спрашивают вероятность конфеты с орехом. Тогда 25 − 7 = 18 и P = 0,72. Внимательно читайте, о каком событии вопрос. Больше задач в статье о вероятности.
Задача 7. Лестница у стены
Задача
Лестницу длиной 5 м прислонили к стене так, что её нижний конец находится в 3 м от стены. На какой высоте находится верхний конец лестницы?
Стена, земля и лестница образуют прямоугольный треугольник, лестница гипотенуза.
h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
h = 4.
Ответ: 4.
Тройку 3, 4, 5 и её «родственников» 6, 8, 10 и 5, 12, 13 полезно знать наизусть: они встречаются на экзамене постоянно.
Задача 8. Уравнение
Задача
Решите уравнение 3(x − 2) = x + 8.
Раскрываем скобки: 3x − 6 = x + 8.
Переносим: 3x − x = 8 + 6.
2x = 14, x = 7.
Ответ: 7.
Проверка подстановкой занимает десять секунд: 3 · 5 = 15 и 7 + 8 = 15. На базе стоит проверять каждое уравнение, это почти гарантирует балл.
Как не терять баллы
- Перечитывать вопрос перед записью ответа: что именно нужно найти.
- Следить за единицами: минуты и часы, рубли и копейки.
- Округлять по смыслу: «купить» вверх, «поместится» вниз.
- Проверять ответ на правдоподобие: лестница не может быть выше 5 м, скидка не может быть больше 100 %.
- Решать все задания, даже наугад: штрафа за неверный ответ нет.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли сдать базу, если в школе было тяжело с математикой?
Да. Для тройки нужно треть заданий, и большинство из них про жизненные ситуации. За несколько месяцев регулярной подготовки по типовым задачам это реально почти для всех.
Есть ли в базе вторая часть с развёрнутым решением?
Нет. Все задания с кратким ответом: число или последовательность цифр. Решение проверяющий не видит, поэтому ошибка в одной цифре стоит всего задания. Ответы стоит переносить в бланк особенно внимательно.
Сколько времени готовиться к базе?
Если школьная математика давалась с трудом, на уверенную четвёрку обычно уходит пять-семь месяцев занятий раз-два в неделю. Если база в целом есть, хватает двух-трёх месяцев тренировки на вариантах.