Перельман и гипотеза Пуанкаре: почему он отказался от миллиона

Кто такой Перельман

Григорий Яковлевич Перельман родился 13 июня 1966 года в Ленинграде. Учился в физико-математической школе № 239 и занимался в математическом кружке. В 1982 году, в 16 лет, он поехал на Международную математическую олимпиаду и взял золотую медаль с абсолютным результатом: 42 балла из 42.

Потом были матмех Ленинградского университета, аспирантура и работа в Математическом институте имени Стеклова. В начале 1990-х Перельман несколько лет провёл в американских университетах и прославился среди специалистов решением трудной задачи из геометрии. Ему предлагали места в лучших университетах США, но он вернулся в Петербург и несколько лет почти ничего не публиковал. Как выяснилось, он думал над гипотезой Пуанкаре.

Что такое гипотеза Пуанкаре

В 1904 году французский математик Анри Пуанкаре задал вопрос о формах пространства. Раздел математики, который ими занимается, называется топологией. В топологии фигуры можно сколько угодно растягивать и мять, как пластилин, но нельзя рвать и склеивать. Для тополога кружка и бублик одинаковы: у обоих одна дырка. А шар и бублик разные.

Опыт с резинкой

Представьте апельсин и натянутую на него резинку. Резинку можно сдвигать по кожуре и стянуть в точку, не снимая с апельсина. С бубликом так не получится: если резинка проходит сквозь дырку, стянуть её в точку нельзя, она упрётся в тесто. Поверхность, на которой любая петля стягивается в точку, математики называют односвязной.

Для двумерных поверхностей давно известно: замкнутая поверхность, где любая петля стягивается в точку, по сути и есть сфера. Пуанкаре спросил, верно ли то же для трёхмерного пространства. Если замкнутое трёхмерное пространство конечно и любая петля в нём стягивается в точку, обязательно ли оно трёхмерная сфера?

Трёхмерную сферу трудно вообразить: это не шар, а пространство, которое так же относится к обычному объёму, как поверхность апельсина к плоскому листу. Не страшно, если картинка не складывается. У математиков она тоже складывается не сразу.

Удивительно, но для пространств размерности 5 и выше утверждение доказали в 1960-х, для размерности 4 в 1982 году. А самый наглядный, трёхмерный случай держался почти сто лет.

Как Перельман это доказал

Перельман опирался на идею американского математика Ричарда Гамильтона, который в 1980-х придумал поток Риччи. Грубо говоря, это способ постепенно разглаживать пространство, как будто тепло растекается по металлу и выравнивает температуру. Если пространство под действием потока становится идеально круглым, значит, это сфера.

Беда была в том, что при разглаживании возникают особенности: где-то пространство сжимается в тонкие перешейки, и формулы перестают работать. Гамильтон не смог с ними справиться. Перельман показал, как такие перешейки аккуратно разрезать и заклеивать, и доказал, что после конечного числа таких операций всё приходит к понятным кускам.

Заодно он доказал более общую гипотезу геометризации Уильяма Тёрстона, которая описывает вообще все трёхмерные пространства. Гипотеза Пуанкаре оказалась её частным случаем.

Три статьи вышли на arXiv с ноября 2002 по июль 2003 года. Проверка заняла несколько лет: несколько групп математиков расписывали короткие рассуждения Перельмана на сотнях страниц. К 2006 году специалисты согласились, что доказательство верное.

Почему он отказался от наград

В 2006 году Перельману присудили Филдсовскую медаль, самую престижную награду для математиков до 40 лет. Он не приехал на конгресс в Мадрид и медаль не взял. В 2010 году Институт Клэя присудил ему премию в миллион долларов за решение задачи тысячелетия. От неё он тоже отказался.

Объяснял он это немногословно. По его словам, вклад Ричарда Гамильтона в решение был не меньше, а решение математического сообщества о награде он считал несправедливым. Ещё раньше, в 1996 году, он отказался от премии Европейского математического общества. В интервью Перельман не раз давал понять, что для него важно само решение, а не деньги и известность.

В 2005 году он ушёл из института, и с тех пор публичных работ у него нет. Журналисты годами караулили его у дома, но он почти ни с кем не разговаривает. Многие считают это странностью, хотя проще принять, что человек имеет право выбирать, как жить.

Что взять из этой истории школьнику

• Большие задачи решают годами. Перельман несколько лет работал почти без публикаций, хотя в науке принято отчитываться постоянно.
• Чужие идеи не стыдно брать, если честно о них говорить. Без потока Риччи Гамильтона доказательства бы не было, и Перельман первым это подчёркивал.
• Олимпиады это начало, а не цель. Золото в 16 лет было разминкой перед задачей, на которую ушли следующие двадцать лет.

Если хочется потренировать топологическое зрение, попробуйте задачу: какие буквы русского алфавита одинаковы для тополога? Например, С и Г можно растянуть друг в друга, а О нельзя растянуть в С, потому что придётся рвать кольцо.

Частые вопросы