Семь задач тысячелетия: миллион долларов за каждую

Правила премии

Институт Клэя основали американский бизнесмен Лэндон Клэй и его жена Лавиния. Чтобы получить деньги, мало прислать решение. Его нужно опубликовать в признанном научном журнале, после публикации должно пройти не меньше двух лет, и за это время математическое сообщество должно решение принять. Только потом специальный комитет рассматривает вопрос о премии.

Задачи отбирали так, чтобы каждая была центральной для своего раздела математики. Решение любой из них потянет за собой сотни других результатов.

Гипотеза Пуанкаре: решена

Единственная решённая задача списка. Она спрашивает, всякое ли замкнутое трёхмерное пространство, где любую петлю можно стянуть в точку, устроено как трёхмерная сфера. Ответ «да» доказал Григорий Перельман в 2002–2003 годах. Премию ему присудили в 2010 году, и он от неё отказался. Подробно об этом в статье про Перельмана.

P и NP: легко проверить значит легко найти?

Самая понятная задача из списка. Вспомните судоку. Проверить заполненную сетку легко: пробежать глазами строки, столбцы и квадраты. А заполнить пустую бывает очень трудно. Вопрос P и NP спрашивает: если решение любой задачи можно быстро проверить, всегда ли его можно и быстро найти?

«Быстро» здесь значит, что время растёт не взрывообразно с размером задачи. Для судоку 9 на 9 компьютер справится мгновенно, но для судоку размером 1000 на 1000 перебор займёт больше времени, чем существует Вселенная. Большинство учёных уверены, что P не равно NP, то есть есть задачи, которые легко проверить, но трудно решить. Доказать это пока не смог никто.

От ответа зависит очень многое. Шифрование в банковских приложениях держится на том, что найти ключ трудно, а проверить его легко. Если вдруг окажется, что P равно NP и есть быстрый способ, современная защита данных рухнет.

Гипотеза Римана: как устроены простые числа

Простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13…) кажутся разбросанными случайно. Но в 1859 году Бернхард Риман нашёл связь между ними и одной особой функцией, дзета-функцией. Он предположил, что все её «интересные» нули лежат на одной прямой. Если это так, простые числа распределены настолько ровно, насколько вообще возможно.

Компьютеры проверили триллионы нулей, и все лежат на нужной прямой. Но проверка примеров не доказательство. Гипотезе больше 160 лет, и многие считают её самой важной открытой задачей математики. Она же входила в список Гильберта 1900 года под номером восемь.

Уравнения Навье–Стокса: как течёт вода

Уравнения Навье–Стокса описывают движение жидкостей и газов: воду в трубе, воздух над крылом, дым над костром. Инженеры пользуются ими каждый день, компьютеры по ним считают погоду. Но математики до сих пор не доказали, что в трёхмерном случае у этих уравнений всегда есть гладкое решение. Вдруг при каких-то условиях жидкость в расчётах «взрывается» и скорость становится бесконечной?

Задача требует либо доказать, что гладкое решение существует всегда, либо найти пример, когда оно ломается.

Ещё три задачи

Теория Янга–Миллса

Это задача на стыке математики и физики. Теория Янга–Миллса описывает силы, которые держат вместе частицы внутри ядра атома. Физики пользуются ей и проверяют на ускорителях, но строгого математического обоснования нет. Нужно доказать, что теория существует и что у частиц в ней есть ненулевая наименьшая масса, так называемая щель масс.

Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера

Речь об уравнениях вроде y² = x³ − x, графики которых называют эллиптическими кривыми. Вопрос: сколько у такого уравнения решений в дробях? Бывает конечное число, бывает бесконечное. Гипотеза предлагает способ это узнать по одной функции. Эллиптические кривые, кстати, помогли доказать Великую теорему Ферма и работают в современной криптографии.

Гипотеза Ходжа

Самая абстрактная задача списка. Она про сложные многомерные фигуры и спрашивает, можно ли их части всегда собрать из более простых, заданных уравнениями. Объяснить её честно без университетского курса почти невозможно, и это нормально: у каждой науки есть вершины, к которым долго идти.

Можно ли решить такую задачу в школе

Честно: почти наверняка нет. Каждая задача требует многих лет подготовки. Но путь к ним начинается со школьной математики: делимость и простые числа ведут к гипотезе Римана, уравнения и функции к Навье–Стоксу, логика и алгоритмы к P и NP. Если хочется попробовать нерешённую задачу, которую понимает пятиклассник, загляните в статью про гипотезу Коллатца.

Частые вопросы