Логарифмы с нуля: что это и как считать
Логарифмы пугают странной записью, но идея у них очень простая: логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое. Разбираем определение, свойства, которых хватает для ЕГЭ, и простейшие уравнения.
Для учеников 10–11 классов.
Что такое логарифм
Логарифм числа b по основанию a это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
logₐ b = c означает aᶜ = b
Основание a положительное и не равно единице, число b положительное. Логарифм отрицательного числа и нуля не существует: никакая степень положительного числа не даёт ноль или отрицательное число.
- log₃ 81 = 4, потому что 3⁴ = 81.
- log₂ (1/8) = −3, потому что 2⁻³ = 1/8.
- log₅ 1 = 0, потому что любое число в нулевой степени равно единице.
- lg 1 000 = 3. Запись lg означает логарифм по основанию 10, а ln по основанию e ≈ 2,718.
Свойства логарифмов
Все свойства следуют из правил действий со степенями. Их пять, и для ЕГЭ этого достаточно.
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Логарифм произведения | logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y |
| Логарифм частного | logₐ (x/y) = logₐ x − logₐ y |
| Логарифм степени | logₐ xⁿ = n · logₐ x |
| Переход к новому основанию | logₐ b = logₘ b / logₘ a |
| Основное тождество | a в степени logₐ b равно b |
Задача
Вычислите log₆ 4 + log₆ 9.
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения: log₆ (4 · 9) = log₆ 36.
6² = 36, значит, ответ 2.
Ответ: 2.
Задача
Вычислите log₂ 12 − log₂ 3.
Разность превращается в логарифм частного: log₂ (12 : 3) = log₂ 4 = 2.
Ответ: 2.
Логарифм суммы так не раскладывается: log (x + y) не равно log x + log y. Это самая частая ошибка.
Простейшие логарифмические уравнения
Такие уравнения стоят в первой части профильного ЕГЭ. Решаем по определению и обязательно проверяем, что выражение под логарифмом положительное.
Задача
Решите уравнение log₂ (x + 3) = 4.
По определению x + 3 = 2⁴ = 16, отсюда x = 13.
Проверка: 13 + 3 = 16 > 0, подходит.
Ответ: 13.
Задача
Решите уравнение log₃ (2x − 1) = log₃ (x + 4).
Основания одинаковые, значит, равны и выражения: 2x − 1 = x + 4, x = 5.
Проверка: 2 · 5 − 1 = 9 > 0 и 5 + 4 = 9 > 0, подходит.
Ответ: 5.
Больше таких уравнений в задачнике по номеру 7.
Где логарифмы встречаются в жизни
Логарифмы появляются там, где величина меняется в разы, а не на сколько-то единиц. Шкала громкости в децибелах логарифмическая: прибавка 10 дБ означает рост мощности звука в 10 раз. Кислотность раствора pH это логарифм концентрации ионов водорода со знаком минус. Шкала магнитуды землетрясений тоже логарифмическая.
А ещё логарифм отвечает на вопрос, сколько лет нужно держать деньги на вкладе, чтобы они выросли вдвое. При 10 % годовых это log₁,₁ 2 ≈ 7,3 года.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
В каком классе проходят логарифмы?
В 10–11 классе, обычно во втором полугодии 10 класса или в начале 11-го, после показательной функции.
Нужно ли знать логарифмы для базовой математики?
В базовом ЕГЭ встречаются простые вычисления с логарифмами, но без уравнений и неравенств. Для профиля логарифмы нужны в первой и во второй части.