Производная по графику: задание 9 ЕГЭ
Номер ЕГЭ про производную по графику решается почти без вычислений, если понимать, что производная показывает наклон графика. Разбираем три вида задач: по графику функции с касательной, по графику самой производной и задачу про движение точки.
Для учеников 10–11 классов. Номер задания по ЕГЭ 2027 года.
Что показывает производная
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке, то есть тангенсу угла между касательной и осью x.
f′(x₀) = k = tg α
- Если функция возрастает, касательная идёт вверх, производная положительна.
- Если функция убывает, производная отрицательна.
- В точках максимума и минимума касательная горизонтальна, производная равна нулю.
Задача с касательной к графику
На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке x₀. Нужно найти f′(x₀). Ищем на касательной две точки, которые стоят ровно в узлах сетки, и считаем, насколько касательная поднимается на каждую клетку вправо.
Задача
Касательная к графику функции в точке x₀ проходит через точки (−2; 1) и (2; 3). Найдите f′(x₀).
Подъём: 3 − 1 = 2. Сдвиг вправо: 2 − (−2) = 4.
k = 2 / 4 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Если касательная идёт вниз слева направо, производная отрицательная. Знак забывают чаще всего, поэтому сначала смотрите на направление, потом считайте.
Когда нарисован график производной
Самое важное: прочитать в условии, что изображено. Если нарисована производная f′(x), то её график сам по себе ничего не говорит о высоте функции, только о том, растёт она или падает.
| Что спрашивают | Что ищем на графике f′(x) |
|---|---|
| Промежутки возрастания f(x) | где график f′ выше оси x |
| Точки максимума f(x) | где f′ переходит через ноль с плюса на минус |
| Точки минимума f(x) | где f′ переходит через ноль с минуса на плюс |
| Касательная параллельна прямой y = 2x − 5 | точки, где f′(x) = 2 |
| Касательная параллельна оси x | точки, где f′(x) = 0 |
Если график f′ касается оси x, но не переходит через неё, экстремума в этой точке нет: функция продолжает расти или убывать.
Физический смысл: скорость точки
Если x(t) это координата точки в момент t, то её скорость равна производной: v(t) = x′(t).
Задача
Материальная точка движется по закону x(t) = t² − 4t + 3, где x в метрах, t в секундах. Найдите её скорость в момент t = 5 с. В какой момент точка останавливалась?
v(t) = 2t − 4. При t = 5 получаем v = 10 − 4 = 6 м/с.
Точка останавливается, когда v = 0: 2t − 4 = 0, t = 2 с.
Ответ: 6 м/с; в момент t = 2 с.
Задачи этого номера собраны в задачнике.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли уметь считать производные для этого задания?
Для задач по графику почти нет, нужно понимать смысл. Для задач про движение точки нужны производные степенной функции: (tⁿ)′ = n · tⁿ⁻¹.
Почему я путаю график функции и график производной?
Потому что они похожи. Перед решением подпишите над рисунком, что на нём: «это f» или «это f′». Это занимает две секунды и спасает балл.