Степени и корни: все правила на одной странице
Правил для степеней и корней немного, и все они выводятся из того, что степень это повторённое умножение. Собрали их в одном месте, показали, откуда берётся нулевая и отрицательная степень, и разобрали ошибки, на которых теряют баллы на экзаменах.
Для учеников 7–11 классов.
Свойства степеней
| Правило | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Умножение | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2⁵ · 2³ = 2⁸ = 256 |
| Деление | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3¹⁰ : 3⁸ = 3² = 9 |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (5²)³ = 5⁶ = 15 625 |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1 000 |
| Нулевая степень | a⁰ = 1 | 7⁰ = 1 |
| Отрицательная степень | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
Показатели складываются только при умножении степеней с одинаковым основанием. Сумма 2³ + 2⁵ так не упрощается: это 8 + 32 = 40, а не 2⁸.
Откуда нулевая и отрицательная степень
Посмотрим на ряд: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Каждый раз, уменьшая показатель на один, мы делим на 2. Продолжим: 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4. Никакой магии: определения выбраны так, чтобы правила продолжали работать.
Отсюда же полезное следствие: дробь в отрицательной степени переворачивается. 0,5⁻² = (1/2)⁻² = 2² = 4.
Свойства корней
| Правило | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Корень произведения | √(ab) = √a · √b | √18 · √2 = √36 = 6 |
| Корень частного | √(a/b) = √a / √b | √(9/25) = 3/5 |
| Квадрат корня | (√a)² = a | (√7)² = 7 |
| Корень из квадрата | √(a²) = |a| | √((−3)²) = 3 |
| Вынесение множителя | √(a²b) = |a|√b | √50 = 5√2 |
Корень можно записать степенью с дробным показателем: квадратный корень это степень 1/2, кубический 1/3. Например, 8 в степени 1/3 равно ∛8 = 2, а 27 в степени 2/3 равно (∛27)² = 9. После этого все правила степеней работают и для корней.
Примеры вычислений
Задача
Вычислите (2⁷ · 4) : 8².
Приводим всё к основанию 2: 4 = 2², 8² = (2³)² = 2⁶.
2⁷ · 2² : 2⁶ = 2⁷⁺²⁻⁶ = 2³ = 8.
Ответ: 8.
Задача
Вычислите (√7 − √3)(√7 + √3).
Это разность квадратов: (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4.
Ответ: 4.
Задачи на вычисления со степенями и корнями стоят в первой части профильного ЕГЭ, их можно потренировать в задачнике.
Ошибки, на которых теряют баллы
- √(a + b) ≠ √a + √b. Проверка: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.
- (−2)⁴ = 16, а −2⁴ = −16. Без скобок минус не возводится в степень.
- 2⁻³ не равно −8. Отрицательная степень даёт дробь, а не отрицательное число.
- √(x²) = |x|, а не x. Если x отрицательный, корень всё равно положителен.
- (a + b)² не равно a² + b². Об этом статья о формулах сокращённого умножения.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Чему равен ноль в нулевой степени?
Выражение 0⁰ в школьной математике считается не определённым. На экзаменах оно не встречается.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
Среди действительных чисел нельзя: квадрат любого числа неотрицателен. В школьных задачах это значит, что у уравнения x² = −4 корней нет.