Тригонометрическая окружность: синус и косинус без зубрёжки
Таблицу синусов и косинусов можно учить наизусть, а можно один раз понять окружность и дальше находить значения сами. Объясняем, почему синус это просто координата точки, как переводить градусы в радианы и как по окружности решать простейшие уравнения.
Для учеников 9–11 классов.
Что такое единичная окружность
Нарисуем окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Угол отсчитываем от положительного направления оси x против часовой стрелки. Каждому углу соответствует точка на окружности.
cos α = x точки sin α = y точки
Вот и всё определение. Косинус показывает, насколько точка сдвинута вправо или влево, синус насколько она выше или ниже центра. Отсюда сразу видно, что синус и косинус не бывают больше 1 и меньше −1.
Пять значений, которые нужно знать
| Угол | Радианы | sin | cos |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
Запомнить легко: синус растёт от 0 до 1 по ряду √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, а косинус идёт по тому же ряду в обратную сторону.
Радианы
Полный оборот это 360°, или 2π радиан. Значит, π радиан это 180°. Чтобы перевести градусы в радианы, умножаем на π/180, обратно на 180/π.
π = 180° π/2 = 90° π/3 = 60° π/4 = 45° π/6 = 30°
Любой угол через симметрию
Окружность симметрична. Угол 150° отстоит от 180° на те же 30°, что угол 30° от нуля, только с другой стороны. Высота точки та же, поэтому sin 150° = sin 30° = 1/2, а косинус меняет знак: cos 150° = −√3/2.
| Четверть | Углы | sin | cos |
|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | + | + |
| II | 90°–180° | + | − |
| III | 180°–270° | − | − |
| IV | 270°–360° | − | + |
- cos 120° = −1/2: точка во II четверти, отступ от 180° на 60°.
- sin 210° = −1/2: III четверть, отступ 30° за 180°.
- cos 300° = 1/2: IV четверть, до полного оборота 60°.
- sin 390° = sin 30° = 1/2: после полного оборота точка вернулась на место.
Основное тождество
Точка на окружности, её проекция на ось x и центр образуют прямоугольный треугольник с катетами |cos α|, |sin α| и гипотенузой 1. По теореме Пифагора:
sin²α + cos²α = 1 tg α = sin α / cos α
Задача
Найдите cos α и tg α, если sin α = 0,6 и угол α лежит во II четверти.
cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, |cos α| = 0,8.
Во II четверти косинус отрицателен: cos α = −0,8.
tg α = 0,6 : (−0,8) = −0,75.
Ответ: cos α = −0,8; tg α = −0,75.
Простейшее уравнение по окружности
Уравнение sin x = 1/2 спрашивает: в каких точках окружности высота равна половине? Проводим горизонтальную прямую y = 1/2. Она пересекает окружность в двух точках: при угле π/6 и при 5π/6. Добавляем полные обороты.
x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Зачем нужны радианы, если есть градусы?
В радианах проще формулы производных и длины дуг: длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах. В 10–11 классе и на ЕГЭ почти всё записывают в радианах.
Что такое тангенс на окружности?
Это отношение синуса к косинусу. Его тоже можно увидеть на рисунке: на прямой x = 1 касательная к окружности, и тангенс это высота точки, где её пересекает луч угла.