Задачи на совместную работу: трубы, бригады и рабочие
Задачи про трубы, бассейны и бригады пугают тем, что в них часто нет объёма работы. Его и не нужно: всю работу принимаем за единицу. Тогда задача решается по той же схеме, что и задачи на движение, только вместо скорости стоит производительность.
Для учеников 6–11 классов. Третья задача в формате ЕГЭ.
Работа, производительность и время
A = p · t
Здесь A работа, p производительность (сколько работы делается за единицу времени), t время. Если вся работа принята за 1, а кто-то делает её за 6 часов, его производительность 1/6 работы в час.
Когда работают вместе, производительности складываются. Это главное, что нужно запомнить: складываются не времена, а доли работы за час.
Две трубы и бассейн
Задача
Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?
Производительность первой трубы 1/6 бассейна в час, второй 1/3.
Вместе: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 бассейна в час.
Время: 1 : 1/2 = 2 часа.
Ответ: за 2 часа.
Ответ полезно проверить на разумность: вместе трубы должны справиться быстрее, чем самая быстрая из них. Два часа меньше трёх, всё сходится.
Найти время одного, зная время вместе
Задача
Две бригады вместе ремонтируют дорогу за 12 дней. Первая бригада одна справилась бы за 20 дней. За сколько дней справится одна вторая бригада?
Вместе бригады делают 1/12 работы в день, первая 1/20.
Вторая: 1/12 − 1/20 = 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30 работы в день.
Значит, одна вторая бригада сделает всё за 30 дней.
Ответ: за 30 дней.
Задача в формате ЕГЭ: рабочие и детали
Задача
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее второго. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если первый делает на 1 деталь в час больше?
Пусть второй делает x деталей в час, первый x + 1.
Время второго 110/x, первого 110/(x + 1). Второй работает на час дольше: 110/x − 110/(x + 1) = 1.
Умножаем на x(x + 1): 110(x + 1) − 110x = x² + x, то есть x² + x − 110 = 0.
Корни 10 и −11. Число деталей не может быть отрицательным, остаётся 10.
Проверка: второй делает заказ за 110 : 10 = 11 ч, первый за 110 : 11 = 10 ч. Разница час.
Ответ: 10 деталей в час.
Похожие задачи есть в задачнике по профильной математике, в номере с текстовыми задачами.
Как не запутаться
- Сразу пишите производительность каждого: «1/6 в час». Время и работа выразятся из неё.
- Складывайте только производительности. Время вместе никогда не равно сумме или среднему времён.
- Если в задаче есть конкретный объём (110 деталей, 400 литров), можно работать с ним, а не с единицей. Схема та же.
- Перед уравнением проверьте, кто работает дольше. Знак в уравнении часто путают именно здесь.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему работу можно принять за единицу?
Потому что в ответе нужно время, а не объём. Сколько бы литров ни было в бассейне, доля, которую труба наливает за час, от этого не меняется.
Чем задачи на работу похожи на задачи на движение?
Формулы одинаковые: путь равен скорости на время, работа равна производительности на время. Совместная работа похожа на движение навстречу, когда скорости складываются.