Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения проходят в 7 классе, и потом они работают до выпускного: в уравнениях, при сокращении дробей, в тригонометрии. Собрали все семь, показали, как первую увидеть на рисунке, и как с ними считать в уме.
Для учеников 7–9 классов.
Все формулы
| Название | Формула |
|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
Первые три нужны постоянно, их стоит знать как таблицу умножения. Кубы встречаются реже, но в 9 классе и на ЕГЭ пригодятся.
Квадрат суммы на рисунке
Нарисуйте квадрат со стороной a + b и разрежьте каждую сторону на отрезки a и b. Квадрат распадётся на четыре части: квадрат a × a, квадрат b × b и два одинаковых прямоугольника a × b. Сложив площади, получаем a² + 2ab + b².
Эта картинка объясняет главную ошибку: (a + b)² не равно a² + b², потому что два прямоугольника никуда не деваются. Проверка числами: (2 + 3)² = 25, а 4 + 9 = 13.
Считаем в уме
- 49² = (50 − 1)² = 2 500 − 100 + 1 = 2 401.
- 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
- 51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2 500 − 1 = 2 499.
- 98 · 102 = 10 000 − 4 = 9 996.
Разность квадратов особенно хороша, когда два числа одинаково отстоят от круглого. Больше приёмов в статье «Пять задач, которые решаются в уме».
Разложение на множители
Формулы работают и справа налево. Если в выражении узнаётся правая часть формулы, его можно свернуть.
- x² − 6x + 9 = (x − 3)².
- 4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5).
- 8a³ − 1 = (2a − 1)(4a² + 2a + 1).
Задача
Упростите (a + 3)² − (a − 3)².
Можно раскрыть обе скобки: a² + 6a + 9 − a² + 6a − 9 = 12a.
Можно сразу как разность квадратов: ((a + 3) − (a − 3))((a + 3) + (a − 3)) = 6 · 2a = 12a.
Ответ: 12a.
Задача
Решите уравнение x² − 10x + 25 = 0.
Левая часть это квадрат разности: (x − 5)² = 0.
x = 5.
Ответ: 5.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как запомнить знаки в сумме и разности кубов?
В первой скобке знак тот же, что в исходном выражении. Во второй скобке перед ab противоположный, а последний член всегда с плюсом.
Обязательно ли знать формулы, если можно раскрыть скобки?
Раскрыть можно, но дольше и с риском ошибки в знаке. А разложить выражение на множители без формул почти невозможно, а это нужно в дробях и уравнениях.