Задачи про кредиты и вклады в ЕГЭ
Финансовые задачи в профильном ЕГЭ пугают длинным условием про январи и июни, но моделей в них всего три. В ЕГЭ 2027 года задача о кредитах и вкладах стоит в первой части. Разбираем вклад, кредит с дифференцированными платежами и кредит равными платежами на понятных числах.
Для учеников 10–11 классов. Номер задания по ЕГЭ 2027 года.
Как читать условие
Типичное условие звучит так: каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года, с февраля по июнь нужно выплатить часть долга. Это значит, что за год с долгом происходят два события: сначала он умножается на (1 + r/100), потом из него вычитается платёж.
Нарисуйте таблицу по годам: долг в начале года, долг после начисления процентов, платёж, долг после платежа. Почти все ошибки возникают, когда в голове путают порядок «начислили, потом заплатили».
Вклад со сложными процентами
S = S₀ · (1 + r/100)ⁿ
Задача
Вкладчик положил 100 000 ₽ под 8 % годовых, проценты начисляются раз в год на всю сумму вклада. Сколько будет на счёте через 2 года?
100 000 · 1,08 = 108 000 ₽ после первого года.
108 000 · 1,08 = 116 640 ₽ после второго.
Ответ: 116 640 ₽.
Кредит, где долг уменьшается равномерно
Условие говорит, что долг после каждого платежа меньше предыдущего на одну и ту же сумму. Тогда каждый платёж это проценты на текущий долг плюс одинаковая доля самого долга.
Задача
Взяли кредит 600 000 ₽ на 3 года под 10 % годовых. Долг уменьшается каждый год на одну и ту же сумму. Сколько всего придётся заплатить?
Долг уменьшается на 600 000 : 3 = 200 000 ₽ в год.
Первый год: проценты 60 000, платёж 260 000. Остаётся 400 000.
Второй год: проценты 40 000, платёж 240 000. Остаётся 200 000.
Третий год: проценты 20 000, платёж 220 000.
Всего: 260 000 + 240 000 + 220 000 = 720 000 ₽.
Ответ: 720 000 ₽, переплата 120 000 ₽.
Переплата здесь это сумма процентов: 10 % от 600, 400 и 200 тысяч. Платежи уменьшаются год от года, это и есть дифференцированная схема.
Кредит равными платежами
Если все платежи одинаковые, обозначаем платёж x и составляем уравнение: после последнего платежа долг равен нулю.
Задача
Взяли кредит 210 000 ₽ на 2 года под 10 % годовых. Его нужно погасить двумя равными платежами. Найдите платёж.
После первого года долг 210 000 · 1,1 − x = 231 000 − x.
После второго: (231 000 − x) · 1,1 − x = 0.
254 100 − 1,1x − x = 0, откуда 2,1x = 254 100, x = 121 000.
Проверка: 231 000 − 121 000 = 110 000, через год 121 000, и последний платёж его гасит.
Ответ: 121 000 ₽.
При равных платежах переплата больше: здесь 32 000 ₽ на 210 000. В начале долг гасится медленнее, и проценты набегают на большую сумму.
Как не ошибиться
- Записывайте множитель 1 + r/100 десятичной дробью: 1,1 вместо 110 %.
- Не округляйте в середине решения. В финансовых задачах ответ почти всегда целый, и дроби в процессе подсказывают, что где-то ошибка.
- Проверяйте ответ прогоном по годам, как в примерах. Это две минуты и почти гарантия балла.
Задачи этого номера собраны в задачнике по ЕГЭ.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как понять, какая схема в задаче?
Если сказано, что платежи равны, это равные платежи. Если сказано, что долг уменьшается на одну и ту же сумму или что долг должен быть меньше на одну и ту же величину, это дифференцированная схема.
Пригодится ли это в жизни?
Да, это ровно то, как банки считают ипотеку и кредиты. Ученик, который решил такую задачу, понимает, почему переплата по долгому кредиту такая большая.