Раскрытие скобок: 25 упражнений с ответами
Раскрытие скобок основа всей алгебры: без него не решить ни уравнение, ни неравенство, ни задачу с параметром. Ошибки здесь обычно две: потерянный минус и забытое слагаемое при умножении. Разбираем правила и тренируемся на упражнениях с ответами.
Для 7–8 классов.
Правила
- Плюс перед скобкой: убираем скобки, знаки не меняем. a + (b − c) = a + b − c.
- Минус перед скобкой: убираем скобки и меняем знак каждого слагаемого. a − (b − c) = a − b + c.
- Число или одночлен перед скобкой: умножаем на каждое слагаемое. 3(2x − 5) = 6x − 15.
- Скобка на скобку: каждое слагаемое первой на каждое слагаемое второй. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Подобные слагаемые это слагаемые с одинаковой буквенной частью: 7a и −2a подобны, 7a и 7a² нет. Чтобы привести подобные, складываем их коэффициенты: 7a − 2a + a = 6a.
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² (a − b)(a + b) = a² − b²
Число и одночлен на скобку
Задача
Раскройте скобки и приведите подобные: 1) 3(2x − 5); 2) −2(4 − 3a); 3) 5 − (2x − 7); 4) 4(x + 2) − 3(x − 1); 5) 2a(3a − 4) − a(a + 2); 6) 7a − 3b + 2a + 5b − a.
1) 6x − 15.
2) −8 + 6a, или 6a − 8.
3) 5 − 2x + 7 = 12 − 2x.
4) 4x + 8 − 3x + 3 = x + 11.
5) 6a² − 8a − a² − 2a = 5a² − 10a.
6) (7 + 2 − 1)a + (−3 + 5)b = 8a + 2b.
Ответ: 6x − 15; 6a − 8; 12 − 2x; x + 11; 5a² − 10a; 8a + 2b.
В примере 3 минус перед скобкой меняет знак у обоих слагаемых: −(2x − 7) = −2x + 7. Если поменять только первый, получится 5 − 2x − 7 = −2 − 2x, и всё дальнейшее решение будет неверным.
Скобка на скобку
Задача
Раскройте скобки: 1) (x + 3)(x − 5); 2) (2y − 1)(y + 4); 3) (a − 2)(3 − a); 4) (x − 2)(x² + 2x + 4); 5) (x + 1)(x + 2)(x + 3).
1) x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15.
2) 2y² + 8y − y − 4 = 2y² + 7y − 4.
3) 3a − a² − 6 + 2a = −a² + 5a − 6.
4) x³ + 2x² + 4x − 2x² − 4x − 8 = x³ − 8.
5) Сначала (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2, потом (x² + 3x + 2)(x + 3) = x³ + 3x² + 3x² + 9x + 2x + 6 = x³ + 6x² + 11x + 6.
Ответ: x² − 2x − 15; 2y² + 7y − 4; −a² + 5a − 6; x³ − 8; x³ + 6x² + 11x + 6.
Проверить себя помогает подсчёт слагаемых: в произведении двух скобок по два слагаемых до приведения подобных должно быть четыре слагаемых, двух скобок по два и по три слагаемых шесть. Если меньше, что-то потеряно.
Формулы сокращённого умножения
Задача
Раскройте скобки по формулам: 1) (a + 4)²; 2) (3x − 2)²; 3) (m − 5)(m + 5); 4) (2a + 3b)²; 5) (0,5x − 1)²; 6) (a + b)² − (a − b)².
1) a² + 8a + 16.
2) 9x² − 12x + 4.
3) m² − 25.
4) 4a² + 12ab + 9b².
5) 0,25x² − x + 1.
6) a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b² = 4ab.
Ответ: a² + 8a + 16; 9x² − 12x + 4; m² − 25; 4a² + 12ab + 9b²; 0,25x² − x + 1; 4ab.
Формулы подробно разобраны в статье о формулах сокращённого умножения. Их стоит знать в обе стороны: и раскрывать скобки, и сворачивать выражение обратно, об этом в статье о разложении на множители.
Упростите и вычислите
Задача
Упростите выражение и найдите его значение: 1) 2(x − 1) − (x − 4) при x = −3; 2) (x + 3)² − (x − 3)(x + 3) при x = 0,5; 3) (a − 2)² − a(a − 4) при a = 2026.
1) 2x − 2 − x + 4 = x + 2. При x = −3 получаем −1.
2) x² + 6x + 9 − (x² − 9) = 6x + 18. При x = 0,5 получаем 21.
3) a² − 4a + 4 − a² + 4a = 4. От a ответ не зависит.
Ответ: −1; 21; 4.
Пример 3 показывает, зачем сначала упрощать. Подставлять 2026 в исходное выражение долго, а после упрощения буква исчезла совсем. На ОГЭ такие задания встречаются регулярно: числа подобраны так, что без упрощения считать неудобно.
Частые ошибки
- (a + b)² = a² + b². Забыто удвоенное произведение 2ab.
- −(x − 5) = −x − 5. Знак поменяли только у первого слагаемого.
- 3(x + 2) = 3x + 2. Число умножили не на все слагаемые.
- x · x = 2x. Правильно x · x = x², а x + x = 2x.
- Приводят «подобные» с разными степенями: 3x² + 2x = 5x³. Так нельзя, это разные слагаемые.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как проверить, что скобки раскрыты верно?
Подставить в исходное и в полученное выражение какое-нибудь число, например x = 1 или x = 2. Значения должны совпасть. Если не совпали, ищите ошибку.
Почему минус на скобку меняет все знаки?
Минус перед скобкой это умножение на −1. А −1 умножается на каждое слагаемое и у каждого меняет знак.