Уравнения второй части ОГЭ: 8 решений
Первое задание второй части ОГЭ по математике обычно уравнение, неравенство или система. Оно стоит 2 балла и решается стандартными приёмами: замена переменной, разложение на множители, проверка области допустимых значений. Разбираем восемь типичных примеров с полным оформлением.
Для 9 класса, подготовка к ОГЭ.
Биквадратное уравнение
Задача
Решите уравнение x⁴ − 13x² + 36 = 0.
Замена t = x², t ≥ 0. Получаем t² − 13t + 36 = 0.
По теореме Виета t = 4 или t = 9. Оба неотрицательные.
x² = 4 даёт x = ±2, x² = 9 даёт x = ±3.
Ответ: −3; −2; 2; 3.
Если бы одно из значений t оказалось отрицательным, его отбросили бы: x² не бывает отрицательным. Условие t ≥ 0 нужно записать в решении, это часть обоснования.
Задача
Решите уравнение x⁴ + 3x² − 4 = 0.
Замена t = x², t ≥ 0: t² + 3t − 4 = 0.
t = 1 или t = −4. Второе значение не подходит.
x² = 1, x = ±1.
Ответ: −1; 1.
Задача
Решите уравнение (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0.
Повторяющееся выражение заменяем: t = x² − 2x. Получаем t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1.
x² − 2x = 3: x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1.
x² − 2x = −1: x² − 2x + 1 = 0, (x − 1)² = 0, x = 1.
Ответ: −1; 1; 3.
Замена переменной работает, когда в уравнении повторяется одно и то же выражение. Раскрывать скобки в таком уравнении не нужно: получится многочлен четвёртой степени, с которым гораздо труднее.
Разложение на множители
Задача
Решите уравнение x³ + 2x² − 9x − 18 = 0.
Группируем: x²(x + 2) − 9(x + 2) = 0.
(x + 2)(x² − 9) = 0, (x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0.
x = −2, x = 3 или x = −3.
Ответ: −3; −2; 3.
Задача
Решите уравнение (x + 3)²(x − 1) = 5(x + 3).
Переносим всё в левую часть: (x + 3)²(x − 1) − 5(x + 3) = 0.
Выносим (x + 3): (x + 3)((x + 3)(x − 1) − 5) = 0.
Во второй скобке x² + 2x − 3 − 5 = x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2).
(x + 3)(x + 4)(x − 2) = 0.
Ответ: −4; −3; 2.
Главная ошибка во втором уравнении: разделить обе части на (x + 3). Тогда корень −3 теряется, и балл снимают. Правило: на выражение с переменной не делим, а выносим его за скобки.
Дробное уравнение
Задача
Решите уравнение (x² − x)/(x + 3) = 12/(x + 3).
Область допустимых значений: x ≠ −3.
Знаменатели равны, приравниваем числители: x² − x = 12.
x² − x − 12 = 0, корни 4 и −3.
x = −3 не входит в ОДЗ.
Ответ: 4.
Задача
Решите уравнение 1/x² + 3/x − 10 = 0.
x ≠ 0. Замена t = 1/x: t² + 3t − 10 = 0.
t = 2 или t = −5.
1/x = 2 даёт x = 1/2, 1/x = −5 даёт x = −1/5.
Ответ: −0,2; 0,5.
Системы уравнений
Задача
Решите систему: x + y = 7, xy = 12.
Из первого y = 7 − x. Подставляем: x(7 − x) = 12.
x² − 7x + 12 = 0, x = 3 или x = 4.
y = 4 или y = 3.
Ответ: (3; 4), (4; 3).
Задача
Решите систему: x² + y² = 25, x − y = 1.
x = y + 1. Подставляем: (y + 1)² + y² = 25.
2y² + 2y + 1 − 25 = 0, y² + y − 12 = 0, y = 3 или y = −4.
x = 4 или x = −3.
Ответ: (4; 3), (−3; −4).
В ответе системы записывают пары чисел, а не отдельные значения. Ответ «3; 4» без скобок проверяющий может не засчитать: непонятно, какая пара имеется в виду. Подробнее о способах решения систем в статье о подстановке и сложении.
Если досталось неравенство
Задача
Решите неравенство x² − 5x + 6 ≤ 0.
Корни трёхчлена 2 и 3. Ветви параболы вверх.
Парабола не выше оси Ox между корнями, включая сами корни.
Ответ: [2; 3].
Квадратные неравенства решаются через корни и знак старшего коэффициента, а дробные методом интервалов, о нём отдельная статья.
За что ставят баллы
- 2 балла: обоснованно получен верный ответ.
- 1 балл: решение доведено до конца, но есть вычислительная ошибка или описка, с её учётом дальнейшие шаги верны.
- 0 баллов: решение не соответствует ни одному из критериев выше, например потерян корень из-за деления.
Что считается обоснованием: записанная замена с условием, ОДЗ в дробных уравнениях, проверка корней, разложение, из которого видны корни. Короткое «по теореме Виета» допустимо, если корни легко проверить.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли делать проверку подстановкой?
В дробных уравнениях обязательно проверить, что знаменатель не равен нулю. Полная подстановка всех корней необязательна, но помогает найти ошибку до того, как её найдёт проверяющий.
Как оформлять замену переменной?
Написать «Пусть t = x², t ≥ 0», решить уравнение с t, отобрать подходящие t и вернуться к x. Каждый шаг отдельной строкой.