Устный счёт: 10 приёмов и 40 примеров
Хороший устный счёт экономит время на любой контрольной и на экзаменах, где калькулятор запрещён. При этом он держится не на особом таланте, а на десятке приёмов, которые легко выучить. Разбираем каждый приём на примере, объясняем, почему он работает, и даём примеры для тренировки с ответами.
Для 4–7 классов и всех, кто готовится к ОГЭ без калькулятора.
Умножение на 5, 25, 9 и 11
Умножить на 5
Пять это половина десяти. Поэтому умножаем на 10 и делим пополам: 48 · 5 = 480 : 2 = 240. Если число чётное, удобнее сначала поделить: 64 · 5 = 32 · 10 = 320.
Умножить на 25
Двадцать пять это сто, делённое на четыре. Делим число на 4 и умножаем на 100: 36 · 25 = 9 · 100 = 900. Если на 4 не делится, делим с остатком: 18 · 25 = 4,5 · 100 = 450.
Умножить на 9
Девять это десять без одного. Умножаем на 10 и вычитаем само число: 47 · 9 = 470 − 47 = 423. Так же с 99: 35 · 99 = 3500 − 35 = 3465.
Умножить двузначное на 11
Раздвиньте цифры и поставьте между ними их сумму: 62 · 11, цифры 6 и 2, сумма 8, ответ 682. Если сумма больше девяти, единицу переносим в старший разряд: 75 · 11, сумма 12, получаем 7, 12, 5, то есть 825. Работает потому, что 11 · ab = ab · 10 + ab, и при сложении в столбик средняя цифра как раз a + b.
Квадраты чисел, оканчивающихся на 5
Возьмите число десятков, умножьте его на следующее за ним число и припишите справа 25. Например, 35²: десятков 3, 3 · 4 = 12, приписываем 25, получаем 1225. Ещё: 65² = 6 · 7 = 42 и 25, то есть 4225. 85² = 8 · 9 = 72, ответ 7225.
(10a + 5)² = 100 · a(a + 1) + 25
Формула объясняет приём: раскройте скобки по формуле квадрата суммы, и получится 100a² + 100a + 25, то есть ровно то, что мы делаем в уме.
Умножение чисел около 100
Чтобы перемножить 96 и 98, посмотрите, сколько каждому не хватает до 100: 4 и 2. Вычтите из одного числа недостаток другого: 96 − 2 = 94. Это первые цифры ответа. Перемножьте недостатки: 4 · 2 = 8, запишите двумя цифрами: 08. Ответ 9408.
Ещё пример: 97 · 93. Недостатки 3 и 7. 97 − 7 = 90, 3 · 7 = 21. Ответ 9021. Проверка: (100 − 3)(100 − 7) = 10000 − 1000 + 21 = 9021.
Разность квадратов
Если числа стоят на одинаковом расстоянии от круглого числа, поможет формула (a − b)(a + b) = a² − b². Например, 52 · 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2496. 51 · 49 = 2500 − 1 = 2499.
Сложение и вычитание
Округлить и поправить
Прибавить 398 сложно, а 400 легко: 257 + 398 = 257 + 400 − 2 = 655. Вычесть 197 удобнее как 200 и вернуть 3: 532 − 197 = 332 + 3 = 335.
Вычитание из 1000
Каждую цифру, кроме последней, дополняем до 9, а последнюю до 10. 1000 − 382: 3 до 9 это 6, 8 до 9 это 1, 2 до 10 это 8. Ответ 618. Так никогда не придётся «занимать» десятки.
Группировка
Ищите пары, которые дают круглые числа: 37 + 48 + 63 + 52 = (37 + 63) + (48 + 52) = 100 + 100 = 200.
Перестановка и деление
Множители можно переставлять как угодно. Ищите «дружные» пары: 4 и 25 дают 100, 8 и 125 дают 1000, 2 и 5 дают 10. Например, 4 · 17 · 25 = (4 · 25) · 17 = 1700. 125 · 16 = 125 · 8 · 2 = 2000.
Разделить на 5 значит умножить на 2 и поделить на 10: 345 : 5 = 690 : 10 = 69. Разделить на 25 значит умножить на 4 и поделить на 100: 1300 : 25 = 5200 : 100 = 52.
Тренажёр: разминка
Разминка
Посчитайте в уме: 1) 86 · 5; 2) 44 · 25; 3) 58 · 9; 4) 34 · 11; 5) 68 · 11; 6) 45²; 7) 95²; 8) 1000 − 457; 9) 368 + 299; 10) 25 · 7 · 4.
1) 860 : 2 = 430. 2) 44 : 4 = 11, ответ 1100. 3) 580 − 58 = 522.
4) 3, 3 + 4 = 7, 4: ответ 374. 5) 6 + 8 = 14: 6 + 1 = 7, 4, 8: ответ 748.
6) 4 · 5 = 20 и 25: 2025. 7) 9 · 10 = 90 и 25: 9025.
8) 4 до 9 это 5, 5 до 9 это 4, 7 до 10 это 3: 543. 9) 368 + 300 − 1 = 667. 10) 25 · 4 · 7 = 700.
Ответ: 430; 1100; 522; 374; 748; 2025; 9025; 543; 667; 700.
Тренажёр: посложнее
Посложнее
Посчитайте в уме: 1) 98 · 97; 2) 99 · 94; 3) 61 · 59; 4) 72 · 68; 5) 125 · 24; 6) 1600 : 25; 7) 47 · 99; 8) 1000 − 709; 9) 15 · 15 + 85 · 15; 10) 39 · 41.
1) недостатки 2 и 3: 98 − 3 = 95, 2 · 3 = 06, ответ 9506. 2) 1 и 6: 93, 06: ответ 9306.
3) 60² − 1 = 3599. 4) 70² − 2² = 4900 − 4 = 4896.
5) 125 · 8 · 3 = 3000. 6) 1600 · 4 : 100 = 64.
7) 4700 − 47 = 4653. 8) 7 до 9 это 2, 0 до 9 это 9, 9 до 10 это 1: 291.
9) 15 · (15 + 85) = 1500. 10) 40² − 1 = 1599.
Ответ: 9506; 9306; 3599; 4896; 3000; 64; 4653; 291; 1500; 1599.
Обратите внимание на пример 8: в 709 цифра 7 дополняется до 9 двойкой, а 0 до 9 девяткой. Правило «дополни до девяти» работает для каждой цифры, кроме последней.
Как тренировать
- Учить по одному приёму в неделю и решать на него 10–15 примеров в день.
- Считать вслух: в магазине, в дороге, по номерам машин.
- Засекать время: через две недели те же примеры решаются вдвое быстрее, и это хорошо видно.
- Проверять себя обратным действием или столбиком, чтобы не закрепить ошибку.
Если пока трудно с самой таблицей умножения, начните со статьи о том, как быстро её выучить: без неё приёмы не работают.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Зачем считать в уме, если есть калькулятор?
На ОГЭ и ЕГЭ калькулятор запрещён, а на контрольных счёт отнимает время, которое нужно для решения. Кроме того, устный счёт помогает заметить нелепый ответ, даже когда считаете на калькуляторе.
С какого класса учить эти приёмы?
Умножение на 5, 9 и 11 и округление подходят уже в 4 классе. Квадраты и разность квадратов лучше в 6–7 классе, когда ребёнок видит формулы, которые за ними стоят.