Обыкновенные дроби: 25 упражнений с ответами
Дроби одна из тем, на которых математика либо становится понятной, либо начинает пугать. Чтобы с ними подружиться, нужна практика: правила простые, но в них легко ошибиться на невнимательности. Здесь короткая памятка и 25 упражнений от простых к сложным, у каждого ответ с ходом решения.
Для 5–6 классов и повторения перед ОГЭ.
Памятка
- Сокращение: делим числитель и знаменатель на одно и то же число. 18/24 = 3/4, поделили на 6.
- Сложение и вычитание: приводим к общему знаменателю, складываем числители, знаменатель оставляем.
- Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. До умножения удобно сократить крест-накрест.
- Деление: умножаем на перевёрнутую дробь.
- Смешанные числа: перед умножением и делением превращаем в неправильные дроби: 2 1/3 = 7/3.
Подробно про общий знаменатель рассказали в статье о сложении дробей. Здесь практика.
Сокращение
Задача
Сократите дроби: 1) 18/24; 2) 35/56; 3) 48/72; 4) 45/60; 5) 84/126.
1) НОД 6: 3/4. 2) НОД 7: 5/8. 3) НОД 24: 2/3.
4) НОД 15: 3/4. 5) НОД 42: 2/3. Если НОД сразу не виден, сокращайте по шагам: 84/126 → 42/63 → 14/21 → 2/3.
Ответ: 3/4; 5/8; 2/3; 3/4; 2/3.
Сложение и вычитание
Задача
Вычислите: 1) 1/3 + 1/4; 2) 2/5 + 3/10; 3) 5/6 + 3/8; 4) 3/4 − 1/6; 5) 7/9 − 5/12.
1) Общий знаменатель 12: 4/12 + 3/12 = 7/12.
2) Знаменатель 10: 4/10 + 3/10 = 7/10.
3) Знаменатель 24: 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.
4) Знаменатель 12: 9/12 − 2/12 = 7/12.
5) Знаменатель 36: 28/36 − 15/36 = 13/36.
Ответ: 7/12; 7/10; 1 5/24; 7/12; 13/36.
Задача
Вычислите со смешанными числами: 1) 2 1/3 + 1 1/2; 2) 5 − 2 3/7; 3) 2 1/3 − 1 3/4.
1) Целые отдельно, дроби отдельно: 3 + (2/6 + 3/6) = 3 5/6.
2) 5 = 4 7/7, 4 7/7 − 2 3/7 = 2 4/7.
3) Дробная часть уменьшаемого меньше, удобнее перевести: 7/3 − 7/4 = 28/12 − 21/12 = 7/12.
Ответ: 3 5/6; 2 4/7; 7/12.
Умножение и деление
Задача
Вычислите: 1) 3/4 · 8/9; 2) 5/6 · 12; 3) 2 1/2 · 1 1/5; 4) 5/6 : 10/9; 5) 3 : 3/4; 6) 1 1/2 : 2 1/4.
1) Сокращаем крест-накрест: 3 и 9 на 3, 4 и 8 на 4. Получаем 1/1 · 2/3 = 2/3.
2) 5 · 12 / 6 = 5 · 2 = 10.
3) 5/2 · 6/5 = 30/10 = 3.
4) 5/6 · 9/10 = 45/60 = 3/4.
5) 3 · 4/3 = 4.
6) 3/2 : 9/4 = 3/2 · 4/9 = 12/18 = 2/3.
Ответ: 2/3; 10; 3; 3/4; 4; 2/3.
Заметьте пример 5: разделить 3 на 3/4 и получить больше трёх нормально. Делим на число меньше единицы, значит, результат больше делимого. Это хороший способ проверить себя: если делите на 1/2, ответ должен вырасти вдвое.
Выражения
Задача
Найдите значение: 1) (1/2 + 1/3) · 6/5; 2) 3/4 − 1/2 · 1/3; 3) (2/3 − 1/4) : 5/6.
1) В скобках 5/6, умножаем: 5/6 · 6/5 = 1.
2) Сначала умножение: 1/2 · 1/3 = 1/6. Потом 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.
3) В скобках 8/12 − 3/12 = 5/12. Делим: 5/12 · 6/5 = 6/12 = 1/2.
Ответ: 1; 7/12; 1/2.
Текстовые задачи
Задача
В классе 28 учеников, 3/7 из них мальчики. Сколько в классе девочек?
Мальчиков: 28 · 3/7 = 12.
Девочек: 28 − 12 = 16.
Ответ: 16.
Задача
Петя прочитал 2/5 книги, это 120 страниц. Сколько страниц в книге?
Целое по его части находим делением на дробь: 120 : 2/5 = 120 · 5/2 = 300.
Ответ: 300 страниц.
Задача
В первый день турист прошёл 1/3 пути, во второй 2/5 пути. Какая часть пути осталась?
Пройдено 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15.
Осталось 1 − 11/15 = 4/15.
Ответ: 4/15 пути.
Задача
Из 3/4 кг муки испекли 6 одинаковых булочек. Сколько муки ушло на одну булочку?
3/4 : 6 = 3/4 · 1/6 = 3/24 = 1/8 кг.
1/8 кг это 125 г.
Ответ: 1/8 кг, или 125 г.
Правило для таких задач: если известно целое и нужно найти часть, умножаем на дробь. Если известна часть и нужно найти целое, делим на дробь. Чтобы не перепутать, проверьте ответ на здравый смысл: часть всегда меньше целого, а целое больше любой своей части.
Частые ошибки
- Складывают числители и знаменатели: 1/2 + 1/3 = 2/5. Неверно, нужно 5/6.
- При делении переворачивают не ту дробь: переворачивается только делитель, вторая дробь.
- Умножают смешанное число по частям: 2 1/2 · 4 ≠ 8 1/2. Правильно 5/2 · 4 = 10.
- Забывают сократить ответ. На ОГЭ ответ часто нужно записать десятичной дробью, поэтому сокращать полезно всегда.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Сколько упражнений решать в день?
Достаточно пяти-восьми, но каждый день. Короткая ежедневная практика закрепляет правила лучше, чем двадцать примеров раз в неделю.
Обязательно ли искать наименьший общий знаменатель?
Нет, можно взять просто произведение знаменателей, ответ будет верным. Но числа станут больше, а в конце придётся сокращать. С наименьшим общим знаменателем меньше счёта и меньше ошибок.
Как быстро понять, на что сократить дробь?
Пробовать признаки делимости: оба числа чётные, значит, делятся на 2; сумма цифр делится на 3; на конце 0 или 5. Таблица признаков в статье о делимости.