Углы и треугольники: 20 задач с решениями
В геометрии 7 класса почти все задачи на углы решаются шестью фактами: смежные углы, вертикальные, сумма углов треугольника, внешний угол, углы при параллельных прямых и свойства равнобедренного треугольника. Собрали их в одном месте и решаем задачи, которые встречаются на контрольных и в ОГЭ.
Для 7–9 классов, повторение к ОГЭ.
Шесть фактов
- Смежные углы в сумме дают 180°.
- Вертикальные углы равны.
- Сумма углов треугольника 180°.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
- Параллельные прямые и секущая: накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние в сумме дают 180°.
- Равнобедренный треугольник: углы при основании равны, медиана к основанию является и высотой, и биссектрисой.
Плюс два факта про прямоугольный треугольник: сумма острых углов 90°, а катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
Смежные и вертикальные углы
Задача
1) Один из смежных углов 47°. Найдите другой. 2) Смежные углы относятся как 2 : 7. Найдите их. 3) При пересечении двух прямых один из углов 35°. Найдите остальные три.
1) 180° − 47° = 133°.
2) Частей 9, одна часть 180° : 9 = 20°. Углы 40° и 140°.
3) Вертикальный ему тоже 35°, смежные 180° − 35° = 145°.
Ответ: 133°; 40° и 140°; 35°, 145°, 145°.
Параллельные прямые
Задача
1) Параллельные прямые пересечены секущей, один из односторонних углов 112°. Найдите другой. 2) Один из накрест лежащих углов 64°. Найдите другой. 3) Сумма двух соответственных углов при параллельных прямых 140°. Найдите каждый.
1) Односторонние в сумме 180°: 68°.
2) Накрест лежащие равны: 64°.
3) Соответственные равны: по 70°.
Ответ: 68°; 64°; 70° и 70°.
Сумма углов треугольника
Задача
1) Два угла треугольника 50° и 65°. Найдите третий. 2) Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите их. 3) В равнобедренном треугольнике угол при вершине 40°. Найдите углы при основании. 4) В равнобедренном треугольнике угол при основании 70°. Найдите угол при вершине.
1) 180° − 50° − 65° = 65°. Треугольник получился равнобедренным.
2) Частей 9, одна часть 20°: 40°, 60°, 80°.
3) (180° − 40°) : 2 = 70°.
4) 180° − 2 · 70° = 40°.
Ответ: 65°; 40°, 60°, 80°; по 70°; 40°.
Задача
Внешний угол треугольника равен 120°, а один из внутренних углов, не смежных с ним, 75°. Найдите остальные углы треугольника.
Внешний угол равен сумме двух несмежных: 120° = 75° + x, x = 45°.
Угол, смежный с внешним: 180° − 120° = 60°.
Проверка: 75° + 45° + 60° = 180°.
Ответ: 45° и 60°.
Прямоугольный треугольник
Задача
1) Острый угол прямоугольного треугольника 35°. Найдите другой острый угол. 2) В прямоугольном треугольнике угол 30°, гипотенуза 18 см. Найдите катет против этого угла. 3) Катет 7 см лежит против угла 30°. Найдите гипотенузу. 4) В прямоугольном треугольнике один острый угол вдвое больше другого. Найдите их.
1) 90° − 35° = 55°.
2) Половина гипотенузы: 9 см.
3) Гипотенуза вдвое больше: 14 см.
4) x + 2x = 90°, x = 30°. Углы 30° и 60°.
Ответ: 55°; 9 см; 14 см; 30° и 60°.
Стороны и периметр
Задача
1) Основание равнобедренного треугольника 8 см, боковая сторона на 3 см больше. Найдите периметр. 2) Существует ли треугольник со сторонами 3, 4 и 8? А 5, 6 и 10? 3) Периметр равнобедренного треугольника 50 см, основание 14 см. Найдите боковую сторону.
1) Боковые по 11 см, периметр 8 + 11 + 11 = 30 см.
2) Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. 8 > 3 + 4 = 7, такого треугольника нет. 10 < 5 + 6 = 11, такой есть.
3) (50 − 14) : 2 = 18 см.
Ответ: 30 см; нет и да; 18 см.
Для проверки неравенства треугольника достаточно сравнить самую длинную сторону с суммой двух других. Если она меньше, треугольник существует.
Задача
В треугольнике ABC угол A равен 40°, угол B равен 70°. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Найдите угол ADC.
Угол C: 180° − 40° − 70° = 70°. Биссектриса делит его пополам: угол ACD = 35°.
В треугольнике ADC: угол ADC = 180° − 40° − 35° = 105°.
Ответ: 105°.
Задача с биссектрисой хороший пример того, как геометрия 7 класса строится из шагов: сначала находим один угол, потом делим его, потом рассматриваем новый треугольник. Если запутались, выпишите все известные углы на чертёж и посмотрите, в каком треугольнике не хватает только одного.
Как решать геометрию
- Всегда рисовать чертёж, крупно и с подписанными углами.
- Отмечать на чертеже всё, что дано, а найденное подписывать по ходу решения.
- Если углов много, обозначать неизвестный за x и составлять уравнение.
- Проверять ответ суммой углов: в треугольнике 180°.
- Если чертёж дан в задаче, не доверять ему на глаз: углы на рисунке могут быть нарисованы неточно.
Задачи на площади треугольников и других фигур собраны в статье о площадях.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему сумма углов треугольника 180°?
Проведите через вершину прямую, параллельную противоположной стороне. Три угла у вершины вместе образуют развёрнутый угол 180°, а по свойству параллельных прямых они равны углам треугольника.
Нужно ли в 7 классе доказывать каждое утверждение?
В задачах на вычисление достаточно ссылаться на теорему: «по свойству смежных углов», «по теореме о сумме углов треугольника». Это и есть обоснование, и проверяющий его ждёт.