Тригонометрические формулы: 25 упражнений
Тригонометрические формулы нужны в вычислительных задачах первой части ЕГЭ и в уравнениях второй. Формул много, но в школьных задачах работает небольшой набор: основное тождество, двойной угол и формулы приведения. Повторяем их и тренируемся на упражнениях с ответами.
Для 10–11 классов, подготовка к ЕГЭ.
Нужные формулы
sin²α + cos²α = 1 tg α = sin α / cos α, tg α · ctg α = 1 1 + tg²α = 1 / cos²α
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
Формулы приведения запоминаются правилом. Если угол записан через π/2 или 3π/2, функция меняется на «кофункцию»: синус на косинус, тангенс на котангенс. Если через π или 2π, функция не меняется. Знак ставим тот, который имела бы исходная функция в нужной четверти, считая α маленьким острым углом.
Знаем одну функцию, ищем другие
Задача
1) sin α = 0,6, α во второй четверти. Найдите cos α и tg α. 2) cos α = −5/13, π < α < 3π/2. Найдите sin α. 3) tg α = 2. Найдите (sin α + cos α)/(sin α − cos α).
1) cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, cos α = ±0,8. Во второй четверти косинус отрицателен: −0,8. tg α = 0,6 : (−0,8) = −0,75.
2) sin²α = 1 − 25/169 = 144/169, sin α = ±12/13. В третьей четверти синус отрицателен: −12/13.
3) Делим числитель и знаменатель на cos α: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 3/1 = 3.
Ответ: −0,8 и −0,75; −12/13; 3.
Главная ошибка в задачах 1 и 2: забыть выбрать знак по четверти. Корень даёт два значения, а нужное определяет только четверть. Знаки удобно помнить по окружности: синус положителен сверху, косинус справа.
Двойной угол
Задача
1) sin α = 1/3. Найдите cos 2α. 2) sin α = 0,6, cos α = 0,8. Найдите sin 2α. 3) Вычислите 2 sin 15° cos 15°. 4) Вычислите cos²15° − sin²15°. 5) Упростите (sin 2α)/(2 cos α).
1) cos 2α = 1 − 2sin²α = 1 − 2/9 = 7/9.
2) 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96.
3) Это sin 30° = 1/2.
4) Это cos 30° = √3/2.
5) 2 sin α cos α / (2 cos α) = sin α.
Ответ: 7/9; 0,96; 1/2; √3/2; sin α.
Задания 3 и 4 показывают, что формулы полезно читать справа налево: увидели 2 sin x cos x, сразу сворачиваем в sin 2x. На ЕГЭ такие выражения специально маскируют, чтобы проверить, узнаёте ли вы формулу.
Формулы приведения
Задача
Упростите: 1) sin(π/2 + α); 2) cos(π − α); 3) tg(π + α); 4) sin(3π/2 − α); 5) cos(3π/2 + α).
1) π/2: функция меняется на косинус. π/2 + α во второй четверти, синус там положителен: cos α.
2) π: функция не меняется. π − α во второй четверти, косинус отрицателен: −cos α.
3) Тангенс в третьей четверти положителен: tg α.
4) 3π/2: меняем на косинус. 3π/2 − α в третьей четверти, синус отрицателен: −cos α.
5) 3π/2 + α в четвёртой четверти, косинус положителен, меняем на синус: sin α.
Ответ: cos α; −cos α; tg α; −cos α; sin α.
Значения тупых и больших углов
Задача
Вычислите: 1) sin 150°; 2) cos 120°; 3) tg 225°; 4) cos 330°; 5) sin(−π/6); 6) cos(7π/3).
1) sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.
2) cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2.
3) tg(180° + 45°) = tg 45° = 1.
4) cos(360° − 30°) = cos 30° = √3/2.
5) Синус нечётный: −sin(π/6) = −1/2.
6) 7π/3 = 2π + π/3, период 2π: cos(π/3) = 1/2.
Ответ: 1/2; −1/2; 1; √3/2; −1/2; 1/2.
Значения для острых углов и окружность разобраны в статье о тригонометрической окружности. Если таблицу трудно запомнить, выучите только синусы: 1/2, √2/2, √3/2 для 30°, 45°, 60°. Косинусы те же, в обратном порядке.
Упрощение и вычисления как на ЕГЭ
Задача
1) Упростите (1 − cos²α)/sin α. 2) Упростите sin⁴α − cos⁴α. 3) Вычислите 24√2 cos(−π/3) sin(−π/4). 4) Найдите 5 cos 2α, если cos α = −0,6.
1) 1 − cos²α = sin²α, делим на sin α: sin α.
2) Разность квадратов: (sin²α − cos²α)(sin²α + cos²α) = −(cos²α − sin²α) · 1 = −cos 2α.
3) cos(−π/3) = 1/2, sin(−π/4) = −√2/2. 24√2 · 1/2 · (−√2/2) = −24 · 2/4 = −12.
4) cos 2α = 2cos²α − 1 = 2 · 0,36 − 1 = −0,28. Умножаем на 5: −1,4.
Ответ: sin α; −cos 2α; −12; −1,4.
В задании 4 удобно выбрать ту форму cos 2α, где есть именно данная функция: дан косинус, значит, 2cos²α − 1. Тогда не нужно искать синус и думать о знаке.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Сколько формул нужно знать для ЕГЭ?
Для первой части хватит основного тождества, связи тангенса с синусом и косинусом, двойного угла и формул приведения. Для второй части полезны ещё формулы суммы и разности углов и понижения степени.
Как запомнить формулы приведения?
Правилом «меняется ли функция» и знаком по четверти. Ещё один приём: представить, что α очень маленький угол, и посмотреть на окружности, куда попадает точка.