Площади фигур: формулы и 18 задач
Задачи на площади встречаются в ОГЭ несколько раз: в практических заданиях, в геометрии первой части и во второй части. Формул немного, но важно понимать, какую выбрать по тому, что дано в условии. Собрали формулы и решили задачи на каждую.
Для 8–9 классов, подготовка к ОГЭ.
Формулы
- Прямоугольник: S = ab. Квадрат: S = a², или S = d²/2 через диагональ.
- Параллелограмм: S = a · h, или S = ab · sin α через стороны и угол между ними.
- Треугольник: S = ½ · a · h; S = ½ · ab · sin γ; формула Герона S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p полупериметр.
- Прямоугольный треугольник: S = ½ · ab, где a и b катеты.
- Ромб: S = ½ · d₁d₂ через диагонали.
- Трапеция: S = (a + b)/2 · h, полусумма оснований на высоту.
- Круг: S = πr².
Как выбрать формулу: смотрите, что дано. Высота даёт формулу «основание на высоту», угол формулу с синусом, три стороны формулу Герона, диагонали ромба формулу с диагоналями.
Четырёхугольники
Задача
1) Стороны прямоугольника 7 и 12. Найдите площадь. 2) Диагональ квадрата 10. Найдите площадь. 3) Основание параллелограмма 10, высота к нему 6. Найдите площадь. 4) Стороны параллелограмма 8 и 10, угол между ними 30°. Найдите площадь.
1) 7 · 12 = 84.
2) d²/2 = 100/2 = 50. Проверка: сторона 10/√2, её квадрат 50.
3) 10 · 6 = 60.
4) 8 · 10 · sin 30° = 80 · ½ = 40.
Ответ: 84; 50; 60; 40.
Задача
1) Диагонали ромба 10 и 24. Найдите площадь и сторону. 2) Основания трапеции 5 и 11, высота 4. Найдите площадь. 3) Основания равнобедренной трапеции 4 и 10, боковая сторона 5. Найдите площадь.
1) S = ½ · 10 · 24 = 120. Диагонали ромба делятся пополам под прямым углом, сторона по теореме Пифагора √(5² + 12²) = 13.
2) (5 + 11)/2 · 4 = 32.
3) Опустим высоты: по краям отрезки по (10 − 4)/2 = 3. Высота √(5² − 3²) = 4. S = (4 + 10)/2 · 4 = 28.
Ответ: 120 и 13; 32; 28.
Треугольники
Задача
1) Основание треугольника 14, высота к нему 9. Найдите площадь. 2) Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8. Найдите площадь и высоту к гипотенузе. 3) Две стороны треугольника 6 и 8, угол между ними 150°. Найдите площадь.
1) ½ · 14 · 9 = 63.
2) S = ½ · 6 · 8 = 24. Гипотенуза 10. Та же площадь через гипотенузу: ½ · 10 · h = 24, h = 4,8.
3) sin 150° = sin 30° = ½. S = ½ · 6 · 8 · ½ = 12.
Ответ: 63; 24 и 4,8; 12.
Задача
Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15.
Полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
Ответ: 84.
Задача
Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 6.
Высота делит его на два прямоугольных треугольника с катетом 3 и гипотенузой 6.
h = √(36 − 9) = √27 = 3√3.
S = ½ · 6 · 3√3 = 9√3. Общая формула S = a²√3/4.
Ответ: 9√3.
Приём из задачи 2 очень полезен: площадь можно посчитать двумя способами и из равенства найти неизвестную высоту. Так находят высоту к гипотенузе и расстояние от точки до прямой.
Круг и кольцо
Задача
1) Радиус круга 6. Найдите площадь. 2) Длина окружности 10π. Найдите площадь круга. 3) Найдите площадь кольца между окружностями радиусов 5 и 3. 4) Площадь круга 64π. Найдите его диаметр.
1) π · 36 = 36π.
2) C = 2πr, r = 5. S = 25π.
3) 25π − 9π = 16π.
4) r² = 64, r = 8, d = 16.
Ответ: 36π; 25π; 16π; 16.
На ОГЭ иногда просят ответ, поделённый на π: «найдите S/π». Тогда в ответ пишется просто число: 36, 25, 16.
Задача
Пицца диаметром 30 см стоит 600 рублей, а пицца диаметром 20 см стоит 300 рублей. Какая выгоднее?
Площадь большой π · 15² = 225π, маленькой π · 10² = 100π.
Большая больше в 2,25 раза, а дороже только в 2 раза.
Ответ: большая: за каждый рубль в ней больше пиццы.
Площадь растёт как квадрат размера: увеличили диаметр в полтора раза, площадь выросла в 2,25 раза. Этот факт работает для любых подобных фигур и часто встречается в задачах.
На клетчатой бумаге
В первой части ОГЭ есть задачи, где фигура нарисована на клетках размером 1 × 1. Удобнее всего достроить фигуру до прямоугольника и вычесть лишние прямоугольные треугольники. Для многоугольников с вершинами в узлах работает и формула Пика: S = В + Г/2 − 1, где В число узлов внутри, Г на границе. Подробно в статье о площади на клетчатой бумаге.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как запомнить формулу трапеции?
Трапецию можно превратить в прямоугольник с той же площадью, если «срезать» треугольники и переложить. Его сторона окажется средней линией, полусуммой оснований, а вторая сторона высотой.
Почему площадь квадрата равна d²/2?
Две диагонали квадрата делят его на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами d/2. Их общая площадь 4 · ½ · (d/2)² = d²/2.