Производная: 25 упражнений с ответами
Производная нужна в нескольких заданиях ЕГЭ: по графику, на наибольшее и наименьшее значение, в задачах на оптимизацию. Везде сначала нужно уверенно её посчитать. Повторяем правила и тренируемся на упражнениях от простых до сложной функции.
Для 10–11 классов.
Правила
(u + v)′ = u′ + v′ (cu)′ = c · u′ (uv)′ = u′v + uv′ (u/v)′ = (u′v − uv′) / v² (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Таблица производных основных функций собрана в статье о таблице производных. Здесь только практика.
Табличные и степенные
Задача
Найдите производную: 1) x⁵; 2) 3x² − 4x + 7; 3) √x; 4) 1/x; 5) 2/x³; 6) 4√x − x; 7) sin x + cos x; 8) eˣ − ln x.
1) 5x⁴.
2) 6x − 4. Константа 7 даёт ноль.
3) √x = x^(1/2), производная ½ · x^(−1/2) = 1/(2√x).
4) x⁻¹, производная −x⁻² = −1/x².
5) 2x⁻³, производная −6x⁻⁴ = −6/x⁴.
6) 4 · 1/(2√x) − 1 = 2/√x − 1.
7) cos x − sin x.
8) eˣ − 1/x.
Ответ: 5x⁴; 6x − 4; 1/(2√x); −1/x²; −6/x⁴; 2/√x − 1; cos x − sin x; eˣ − 1/x.
Совет: корни и дроби сначала переписывайте в виде степени. Тогда работает одно правило (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, и не нужно помнить отдельные формулы для √x и 1/x.
Произведение и частное
Задача
Найдите производную: 1) x² sin x; 2) x eˣ; 3) (x + 1)/(x − 1); 4) x ln x; 5) (x² + 1)/x.
1) 2x sin x + x² cos x.
2) eˣ + x eˣ = eˣ(x + 1).
3) ((x − 1) − (x + 1))/(x − 1)² = −2/(x − 1)².
4) ln x + x · 1/x = ln x + 1.
5) Проще сначала поделить: x + 1/x. Производная 1 − 1/x².
Ответ: 2x sin x + x² cos x; eˣ(x + 1); −2/(x − 1)²; ln x + 1; 1 − 1/x².
Пример 5 показывает, что правило частного не всегда нужно. Если дробь можно упростить, упростите: меньше вычислений и меньше шансов ошибиться.
Сложная функция
Сложная функция это функция от функции: в sin 3x внешняя функция синус, внутренняя 3x. Производная равна производной внешней, умноженной на производную внутренней.
Задача
Найдите производную: 1) (2x + 1)⁵; 2) sin 3x; 3) e^(x²); 4) ln(x² + 1); 5) √(1 − 2x); 6) cos²x.
1) 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴.
2) cos 3x · 3 = 3 cos 3x.
3) e^(x²) · 2x.
4) 1/(x² + 1) · 2x = 2x/(x² + 1).
5) 1/(2√(1 − 2x)) · (−2) = −1/√(1 − 2x).
6) 2 cos x · (−sin x) = −sin 2x.
Ответ: 10(2x + 1)⁴; 3 cos 3x; 2x · e^(x²); 2x/(x² + 1); −1/√(1 − 2x); −sin 2x.
Самая частая ошибка: забыть умножить на производную внутренней функции. (sin 3x)′ = cos 3x неверно, потерян множитель 3.
Значение, касательная и скорость
Задача
1) f(x) = x³ − 3x. Найдите f′(2). 2) Напишите уравнение касательной к графику y = x² в точке x₀ = 3. 3) Точка движется по закону s(t) = t³ − 2t² + 5 (s в метрах, t в секундах). Найдите скорость в момент t = 3.
1) f′(x) = 3x² − 3, f′(2) = 12 − 3 = 9.
2) y(3) = 9, y′ = 2x, y′(3) = 6. Касательная y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.
3) v(t) = s′(t) = 3t² − 4t, v(3) = 27 − 12 = 15 м/с.
Ответ: 9; y = 6x − 9; 15 м/с.
Задача
В какой точке касательная к графику y = x² − 4x + 1 параллельна оси абсцисс?
Касательная параллельна Ox, когда её угловой коэффициент равен 0.
y′ = 2x − 4 = 0, x = 2. y(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
Ответ: в точке (2; −3).
Задача
1) Найдите точки, в которых производная функции f(x) = x³ − 12x равна нулю. 2) Найдите угловой коэффициент касательной к графику y = ln x в точке x₀ = 1. 3) Найдите f′(0) для f(x) = e^(2x) + sin x.
1) f′(x) = 3x² − 12 = 0, x² = 4, x = ±2.
2) y′ = 1/x, в точке 1 получаем 1. Касательная идёт под углом 45° к оси Ox.
3) f′(x) = 2e^(2x) + cos x, f′(0) = 2 + 1 = 3.
Ответ: ±2; 1; 3.
Смысл производной: скорость изменения функции. Для движения это скорость, для графика наклон касательной. Как читать производную по графику, разобрали в статье о задании на производную по графику.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему производная константы равна нулю?
Константа не меняется, а производная показывает скорость изменения. Скорость изменения того, что не меняется, ноль.
Что учить сначала: правила или таблицу?
Таблицу: без неё правила не на чем применять. Хватит десяти строк: степень, корень, дробь 1/x, синус, косинус, тангенс, экспонента, логарифм и константа. Правила произведения и сложной функции учат следом.
Как проверить производную?
Подставить в исходную функцию два близких значения x, например 2 и 2,001, и поделить разность значений функции на 0,001. Получится число, близкое к значению производной в точке 2.