Задание 11 базового ЕГЭ: стереометрия из жизни
Одиннадцатый номер базового ЕГЭ про пространственные фигуры в практических задачах: деталь опустили в сосуд с водой, перелили воду в другой сосуд, склеили два кубика. Формулы объёмов здесь простые, а главное понять, что именно происходит с телом.
Для 11 класса. По проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Разбор задач
Деталь в воде
В сосуд в форме прямоугольного параллелепипеда с основанием 20 × 15 см налита вода. В неё опустили деталь, и уровень поднялся на 4 см. Найдите объём детали в см³.
Объём детали равен объёму поднявшейся воды.
20·15·4 = 1200 см³.
Ответ: 1200
Грани призмы
Сколько граней у шестиугольной призмы?
6 боковых граней и 2 основания.
6 + 2 = 8.
Ответ: 8
Две склеенные детали
Два одинаковых кубика с ребром 1 склеили гранями. Найдите площадь поверхности получившейся детали.
У двух кубиков вместе 12 граней.
Две грани склеены и спрятались внутрь: 12 − 2 = 10.
Ответ: 10
Переливание
Вода в цилиндрическом сосуде стоит на уровне 4 см. Её перелили в сосуд с диаметром в 3 раза меньше. На какой высоте будет вода?
Площадь основания уменьшилась в 3² = 9 раз.
Высота вырастет в 9 раз: 36 см.
Ответ: 36
Аквариум
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда 60 × 30 × 40 см. Сколько литров воды в нём помещается?
60·30·40 = 72 000 см³.
1 л = 1000 см³, значит, 72 л.
Ответ: 72
Грани, рёбра и вершины
| Многогранник | Грани | Рёбра | Вершины |
|---|---|---|---|
| n-угольная призма | n + 2 | 3n | 2n |
| n-угольная пирамида | n + 1 | 2n | n + 1 |
| Куб | 6 | 12 | 8 |
Проверка по формуле Эйлера: вершины минус рёбра плюс грани равно 2. Для шестиугольной призмы 12 − 18 + 8 = 2.
Правило для задач с водой
Когда деталь целиком погружают в воду, вода поднимается ровно на объём детали. Значит, объём детали равен площади основания сосуда, умноженной на подъём уровня. Форма детали при этом не важна.
Когда воду переливают, её объём не меняется. Если площадь основания уменьшилась в несколько раз, высота во столько же раз выросла.
Как решать быстрее
Перед расчётом переведите все размеры в одни единицы. Если сосуд в сантиметрах, а ответ просят в литрах, считайте в кубических сантиметрах и в конце разделите на 1000.
В задачах на поверхность составной детали удобно считать не грани, а то, что исчезло. Каждая склейка двух кубиков убирает две грани. Три кубика в ряд дают две склейки: 18 − 4 = 14. Четыре кубика в ряд: 24 − 6 = 18.
Если сосуд цилиндрический, а в условии диаметр, помните, что площадь основания зависит от квадрата диаметра. Уменьшили диаметр вдвое, площадь стала вчетверо меньше, высота воды вчетверо больше.
Проверь себя
- Сколько рёбер у пятиугольной пирамиды? Ответ: 10.
- Ящик 50 × 40 × 30 см. Сколько литров в него помещается? Ответ: 60.
- Три кубика с ребром 1 склеили в ряд. Площадь поверхности? Ответ: 14.
Где теряют балл
- Диаметр в квадрате. При уменьшении диаметра в 3 раза площадь уменьшается в 9 раз, а не в 3.
- Литры и кубические сантиметры. 1 л = 1000 см³, 1 м³ = 1000 л.
- Склеенные грани. Каждое склеивание прячет две грани, по одной у каждого кубика.
Как тренироваться
Формулы объёмов тел собраны в разборе стереометрии первой части профиля. Все номера базы в статье базовый ЕГЭ по номерам.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что делать, если деталь погружена не полностью?
Тогда объём вытесненной воды равен объёму погружённой части. В задачах базы деталь обычно погружают целиком.
Нужно ли учить формулу Эйлера?
Не обязательно, но она помогает проверить ответ в задачах на грани и рёбра.