Задание 3 профильного ЕГЭ: стереометрия
Третий номер профильного ЕГЭ про объёмы и площади поверхности тел. Задачи короткие, но формул много, и путаются в них чаще, чем в самой арифметике. Собрали все формулы в одну таблицу и разобрали задачи всех типов, которые встречаются в открытом банке.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Что проверяет задание 3
В третьем номере дано тело: многогранник или тело вращения. Нужно найти объём, площадь поверхности, высоту или узнать, во сколько раз изменится объём. Иногда тело составное, например, деталь из двух параллелепипедов, или в цилиндр налита вода и туда опускают деталь.
Задание базового уровня, за него один балл. Формулы в справочных материалах к ЕГЭ даны не все, поэтому их нужно знать наизусть.
Формулы объёма и площади
| Тело | Объём | Площадь поверхности |
|---|---|---|
| Куб с ребром a | a³ | 6a² |
| Прямоугольный параллелепипед | abc | 2(ab + bc + ac) |
| Призма | S·h | 2S + боковая |
| Пирамида | S·h/3 | S + боковая |
| Цилиндр | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| Конус | πr²h/3 | πr² + πrl, l образующая |
| Шар | 4πr³/3 | 4πr² |
Главная связь между формулами: пирамида втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой, конус втрое меньше цилиндра. Если это помнить, половина задач решается в уме.
Правило подобия
Если все линейные размеры тела увеличить в k раз, площадь поверхности вырастет в k² раз, а объём в k³ раз. Это работает для любого тела: куба, шара, конуса, пирамиды.
Разбор задач
Подобие
Каждое ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился объём?
Линейные размеры выросли в 3 раза, значит, объём вырос в 3³ раза.
3³ = 27.
Ответ: 27
Площадь поверхности параллелепипеда
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 4. Найдите площадь его поверхности.
Грани попарно равны: 2·3 = 6, 3·4 = 12, 2·4 = 8.
S = 2(6 + 12 + 8) = 52.
Ответ: 52
Конус и цилиндр
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём конуса равен 12. Найдите объём цилиндра.
Объём конуса равен трети объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.
V = 12·3 = 36.
Ответ: 36
Вода в сосуде
В цилиндрическом сосуде уровень воды 16 см. Воду перелили в другой цилиндрический сосуд, радиус основания которого в 2 раза больше. На какой высоте будет уровень воды?
Объём воды не изменился: πr²·16 = π(2r)²·h.
π·4r²·h = πr²·16, отсюда h = 16/4 = 4.
Ответ: 4
Объём шара
Объём шара равен 288. Найдите объём шара, радиус которого в 2 раза меньше.
Радиус уменьшился в 2 раза, объём уменьшится в 2³ = 8 раз.
288/8 = 36.
Ответ: 36
Правильная пирамида
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, высота 4. Найдите объём.
В основании квадрат, S = 6² = 36.
V = S·h/3 = 36·4/3 = 48.
Ответ: 48
Ответ без π
Радиус основания цилиндра 3, высота 5. Найдите объём цилиндра, делённый на π.
V = πr²h = π·9·5 = 45π.
V/π = 45.
Ответ: 45
Какие формулировки встречаются
- Составной многогранник. Деталь из нескольких параллелепипедов: объём складывают по частям, а площадь поверхности удобно считать как у «объемлющего» параллелепипеда с поправками на выступы.
- Вписанные тела. Шар вписан в куб, значит, диаметр шара равен ребру куба. Куб вписан в шар, значит, диагональ куба равна диаметру.
- Отсечённая часть. Плоскость отрезает от куба или призмы пирамиду, и нужен её объём.
- Подобие и изменение размеров в k раз.
- Вода и деталь в сосуде. Объём детали равен вытесненной воде.
Проверь себя
- Объём куба 8. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 24.
- Площадь основания цилиндрического сосуда 40 см². Когда в него опустили деталь, уровень воды поднялся с 12 до 15 см. Найдите объём детали в см³. Ответ: 120.
- Шар вписан в куб с ребром 6. Найдите объём шара, делённый на π. Ответ: 36.
- Радиус основания конуса 3, высота 4. Найдите площадь боковой поверхности, делённую на π. Ответ: 15 (образующая равна 5).
- От куба с ребром 6 отсекли плоскостью, проходящей через три вершины, соседние с одной, треугольную пирамиду. Найдите её объём. Ответ: 36.
Последняя задача полезна сама по себе: у такой пирамиды основание прямоугольный треугольник с катетами 6 и 6, а высота равна ребру куба. Значит, V = (1/3)·18·6 = 36, ровно шестая часть куба.
Где теряют балл
- Забытая треть. У пирамиды и конуса объём делится на 3. Без деления ответ ровно втрое больше верного.
- Диаметр вместо радиуса. Если в условии диаметр, сначала делим пополам.
- Подобие для площади. Площадь растёт в k², а не в k³ раз. Читайте вопрос: спрашивают объём или поверхность.
- Деталь в воде. Объём детали равен объёму вытесненной воды, то есть площади основания сосуда, умноженной на подъём уровня.
Как тренироваться
Сначала выучите таблицу формул так, чтобы писать её по памяти за минуту. Потом решайте задачи блоками по одному телу: десять на параллелепипед, десять на цилиндр и конус, десять на шар и подобие.
Задачи третьего номера с ответами есть в задачнике, задание 3. Формулы отдельных тел подробно в статьях цилиндр, конус, шар и пирамида и призма.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Есть ли формулы объёмов в справочных материалах ЕГЭ?
Справочные материалы к профильному ЕГЭ короткие, и полной таблицы объёмов в них нет. Надёжнее знать формулы наизусть.
Чем задание 3 отличается от задания 15?
В третьем номере нужен только ответ числом. В пятнадцатом нужно доказать утверждение о фигуре и записать полное решение, за него до трёх баллов.