Задание 19 базового ЕГЭ: числа и делимость
Девятнадцатый номер базового ЕГЭ про цифры и делимость: найти четырёхзначное число, кратное 45, с разными чётными цифрами, или вычеркнуть цифры так, чтобы число делилось на 9. Такие задачи кажутся олимпиадными, но решаются подбором по признакам делимости. Подходящих ответов обычно несколько, засчитывается любой.
Для 11 класса. По проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Признаки делимости
| На что делится | Признак |
|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная |
| 3 | сумма цифр делится на 3 |
| 4 | две последние цифры образуют число, кратное 4 |
| 5 | оканчивается на 0 или 5 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 |
| 10 | оканчивается на 0 |
| 11 | разность сумм цифр на чётных и нечётных местах делится на 11 |
| 25 | оканчивается на 00, 25, 50 или 75 |
Делимость на составное число проверяют через множители без общих делителей: 45 = 5·9, 12 = 3·4, 18 = 2·9, 36 = 4·9.
Разбор задач
Кратное 45
Найдите четырёхзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны.
45 = 5·9. Чётное число, кратное 5, оканчивается на 0.
Три другие цифры из 2, 4, 6, 8, разные, а сумма всех цифр должна делиться на 9. Подходит 4 + 6 + 8 = 18.
Например, 4680. Подходят и 6480, 8640 и другие перестановки с нулём в конце.
Ответ: 4680
Кратное 12 с произведением цифр
Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10.
10 = 1·1·2·5, других наборов из четырёх цифр нет.
Сумма 1 + 1 + 2 + 5 = 9, на 3 делится при любой перестановке.
Для делимости на 4 две последние цифры должны дать 12 или 52. Подходит 1512 или 5112.
Ответ: 1512
Вычеркнуть цифру
Вычеркните в числе 52147 одну цифру так, чтобы получившееся число делилось на 9. В ответе укажите получившееся число.
Сумма цифр 19. Нужно, чтобы осталась сумма, кратная 9, то есть 18.
Вычёркиваем 1: получаем 5247, сумма 18.
Ответ: 5247
Остатки
Найдите трёхзначное число с нечётными цифрами, которое при делении на 5 и на 6 даёт остаток 3.
Если остаток 3 и при делении на 5, и при делении на 6, то число на 3 больше кратного 30: 30k + 3.
Такие числа оканчиваются на 3. Перебираем: 153, все цифры нечётные.
Ответ: 153
Как подбирать
Начинайте с самого жёсткого условия. Если число кратно 5 или 10, сразу ясна последняя цифра. Если нужна делимость на 4, перебирайте две последние цифры. Сумму цифр для 3 и 9 подгоняйте в конце.
Найденное число обязательно проверьте делением. Это займёт полминуты и убережёт от ответа, который нарушает одно из условий.
Проверь себя
- Трёхзначное число, кратное 15, с суммой цифр 6. Ответ: например, 105 или 150.
- Вычеркните одну цифру в числе 7316 так, чтобы число делилось на 4. Ответ: например, 736 или 316.
- Четырёхзначное число из цифр 1, 2, 3, 4 без повторов, кратное 4. Ответ: например, 1324 или 3412.
Где теряют балл
- Одно условие из трёх. Число кратно 45, но цифры повторяются.
- Признак делимости на 4 по последней цифре. На 4 смотрят две последние цифры, а не одна.
- Без проверки. Подобранное число стоит разделить: ошибки в подборе встречаются часто.
Как тренироваться
Выучите таблицу признаков и решите по три задачи каждого типа: найти число, вычеркнуть цифры, остатки. Делимость и остатки на других примерах в статье задача о числах в профильном ЕГЭ. Все номера базы в статье базовый ЕГЭ по номерам.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что писать, если подходящих чисел много?
Любое одно. Проверяющая система принимает каждый верный ответ.
Это задание сложное?
Оно считается одним из трудных в базе, но решается подбором. Если на него не хватает времени, оставьте его на конец.