Задание 21 базового ЕГЭ: задачи на смекалку
Двадцать первый номер базового ЕГЭ самый нестандартный. Здесь нет одной формулы: викторина с очками, заправки на кольцевой дороге, прямоугольник, разрезанный на части. Зато сюжеты в банке повторяются, и после разбора нескольких задач становится видно, что каждая решается одной идеей.
Для 11 класса. По проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Три решения
Викторина
В викторине 20 вопросов. За верный ответ дают 5 очков, за неверный снимают 3. Участник ответил на все вопросы и набрал 52 очка. Сколько верных ответов он дал?
Пусть верных x, неверных 20 − x.
5x − 3(20 − x) = 52, 8x − 60 = 52, 8x = 112.
x = 14. Проверка: 70 − 18 = 52.
Ответ: 14
Кольцевая дорога
На кольцевой дороге четыре заправки A, B, C, D. Расстояние между A и B 35 км, между A и C 20 км, между C и D 20 км, между D и A 30 км (расстояния по кратчайшей дуге). Найдите расстояние между B и C.
Отложим точки от A по ходу: C на 20 км, D на 40 км. Тогда от D до A по той же стороне 30 км, и длина кольца 70 км.
AB = 35 км, это ровно половина кольца, B напротив A, на отметке 35 км.
B между C (20) и D (40): BC = 35 − 20 = 15 км.
Ответ: 15
Прямоугольник из четырёх частей
Прямоугольник разрезан двумя отрезками, параллельными сторонам, на четыре прямоугольника. Периметры левого верхнего, правого верхнего и левого нижнего равны 24, 28 и 16. Найдите периметр правого нижнего.
Пусть ширины столбцов a и b, высоты строк c и d. Периметры: 2(a + c) = 24, 2(b + c) = 28, 2(a + d) = 16, искомый 2(b + d).
Сумма периметров по диагонали равна: 2(a + c) + 2(b + d) = 2(b + c) + 2(a + d).
24 + x = 28 + 16, x = 20.
Ответ: 20
Общий подход
- Нарисовать. Кольцо, прямоугольник, таблицу. На рисунке задача часто решается без вычислений.
- Обозначить неизвестное буквой. Многие задачи на смекалку сводятся к линейному уравнению, как викторина.
- Найти инвариант. В задаче про прямоугольники сумма периметров по диагоналям одинакова, и это всё решение.
- Проверить ответ подстановкой в условие.
Проверь себя
- В викторине 10 вопросов, за верный ответ 4 очка, за неверный −1. Участник ответил на все и набрал 25. Сколько верных? Ответ: 7.
- Прямоугольник разрезан на четыре части, периметры трёх по порядку (левый верхний, правый верхний, левый нижний) 10, 14, 12. Периметр правого нижнего? Ответ: 16.
- Улитка за день поднимается на 4 м, за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней она доберётся до вершины? Ответ: 7.
В задаче про улитку ловушка в последнем дне: на седьмой день она поднимается с 6 м до 10 м и уже не сползает.
Где теряют балл
- Кратчайшая дуга. На кольцевой дороге расстояние между точками считают по более короткой дуге.
- Неполный перебор. Если решаете подбором, проверьте, что найденный вариант подходит под все условия.
- Слишком много времени. Двадцать первый номер стоит один балл, как и первый. Не тратьте на него больше 10 минут, пока не проверена остальная работа.
Как тренироваться
Решите по две-три задачи на каждый сюжет из банка ФИПИ и запишите для себя идею одной фразой. Логические задачи другого типа разобраны в статье задание 8 базы. Все номера базы в статье базовый ЕГЭ по номерам.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужен ли двадцать первый номер для тройки?
Нет. Для тройки и четвёрки по базе хватает более простых заданий. Этот номер для тех, кто хочет пятёрку.
Можно ли решать подбором?
Да, в бланк идёт только ответ. Подбор полезен, когда вариантов немного, но обязательно проверьте найденный ответ.