Число e: откуда оно и зачем
Число π знают все, а число e известно меньше, хотя в математике оно не менее важно. Оно появляется в процентах по вкладам, в росте бактерий, в остывании чая и в радиоактивном распаде. Рассказываем, как его нашли в задаче о банке, и проверяем всё на калькуляторе.
Для 9–11 классов.
Задача о банке
В 1683 году швейцарский математик Якоб Бернулли решал задачу о сложных процентах. Пусть банк платит 100 % годовых. Положили 1 рубль, через год получили 2.
А если начислять проценты дважды в год, по 50 %? Через полгода 1,5 рубля, ещё через полгода 1,5 · 1,5 = 2,25. Выгоднее. А если каждый месяц по 1/12 от 100 %?
(1 + 1/n)ⁿ
| Начисление | Через год |
|---|---|
| раз в год | 2 |
| раз в полгода | 2,25 |
| каждый месяц | ≈ 2,613 |
| каждый день | ≈ 2,7146 |
| каждую секунду | ≈ 2,71828 |
Деньги растут, но всё медленнее, и упираются в предел. Этот предел и есть число e ≈ 2,71828. Даже если начислять проценты непрерывно, каждое мгновение, больше e рублей из одного не получится.
Чем e особенное
Главное свойство: производная функции eˣ равна самой функции. График eˣ в каждой точке растёт со скоростью, равной своей высоте. Ни одна другая показательная функция так не умеет: у 2ˣ производная примерно 0,69 · 2ˣ, у 10ˣ примерно 2,3 · 10ˣ.
(eˣ)′ = eˣ
Поэтому e появляется везде, где скорость изменения пропорциональна самой величине. Чем больше бактерий, тем быстрее они размножаются. Чем горячее чай по сравнению с комнатой, тем быстрее он остывает. Чем больше радиоактивных атомов, тем больше их распадается за секунду.
Логарифм по основанию e называют натуральным и обозначают ln. В 11 классе он появляется вместе с производной: (ln x)′ = 1/x. О логарифмах вообще рассказали в статье о логарифмах с нуля.
Где встречается e
- Финансы: непрерывное начисление процентов, расчёты в банках и страховании.
- Биология: рост популяции, пока хватает еды и места.
- Физика: радиоактивный распад, разряд конденсатора, остывание тел.
- Вероятность: если перемешать письма и конверты, вероятность, что ни одно письмо не попадёт в свой конверт, стремится к 1/e ≈ 0,37.
Последний пример особенно красивый. Нет ни процентов, ни роста, а число e всё равно появляется. Математики называют такие встречи «e выглядывает из-за угла».
Правило 72: когда вклад удвоится
Из числа e получается удобное правило для денег. Чтобы узнать, через сколько лет удвоятся деньги под сложный процент, разделите 72 на ставку в процентах. Под 8 % годовых вклад удвоится примерно через 72 : 8 = 9 лет, под 12 % примерно через 6 лет.
Откуда 72? Точное время удвоения при непрерывном росте равно ln 2, делённому на ставку, а ln 2 ≈ 0,693. Получается примерно 69 : ставку. Число 72 взяли потому, что оно лучше работает при годовом начислении и удобно делится на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12.
Задача
Цены растут на 6 % в год. Через сколько лет они удвоятся? А население города, которое растёт на 2 % в год?
72 : 6 = 12 лет.
72 : 2 = 36 лет.
Ответ: примерно 12 и 36 лет.
Правило работает и в обратную сторону: если что-то удваивается каждые 3 года, значит, растёт примерно на 24 % в год. Так оценивают рост числа пользователей, вычислительной мощности или распространение новостей.
Как запомнить
e = 2,7 1828 1828 45 90 45. После 2,7 дважды повторяется 1828, год рождения Льва Толстого, а потом углы равнобедренного прямоугольного треугольника: 45, 90, 45. Дальше закономерность ломается: e, как и π, иррациональное число, его цифры не повторяются периодом.
Задачи
Задача
1) Вклад 100 000 рублей под 12 % годовых. Сколько будет через год, если проценты начисляются раз в год? А если каждый месяц по 1 %? 2) Найдите производную функции y = 3eˣ. 3) Решите уравнение eˣ = 1.
1) Раз в год: 112 000. Каждый месяц: 100 000 · 1,01¹² ≈ 112 683. Разница около 683 рублей за счёт процентов на проценты.
2) y′ = 3eˣ.
3) e⁰ = 1, значит, x = 0.
Ответ: 112 000 и около 112 683; 3eˣ; 0.
Задача про вклад показывает, почему банки пишут «эффективная ставка»: при ежемесячной капитализации 12 % годовых превращаются примерно в 12,68 %. Как решать задачи о вкладах на ЕГЭ, разобрано в статье о финансовых задачах.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему число назвали буквой e?
Обозначение ввёл Леонард Эйлер в XVIII веке. Возможно, от слова exponential, возможно, просто следующая свободная буква. Версия, что Эйлер назвал число в честь себя, популярна, но доказательств нет.
Чем e похоже на π?
Оба числа иррациональные и даже трансцендентные: они не являются корнем ни одного многочлена с целыми коэффициентами. И оба соединяются в знаменитой формуле Эйлера, которую называют самой красивой в математике: в ней встречаются e, π, мнимая единица, единица и ноль.
Как посчитать e самому?
Сложить ряд 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + …, где в знаменателях факториалы. Уже после восьми слагаемых получается 2,71825, очень близко к точному значению. Каждое следующее слагаемое во много раз меньше предыдущего, поэтому ряд сходится очень быстро.
Нужно ли знать e на ЕГЭ?
Да, в профильном ЕГЭ встречаются функции с eˣ и ln x в заданиях на производную и наибольшее значение. Помнить само значение 2,718 обычно не нужно: ответы подбирают так, чтобы e сократилось.