Евклид и «Начала»: учебник, которому две тысячи лет

Что известно о Евклиде

Почти ничего. Евклид жил и работал в Александрии, в Египте, при царе Птолемее I, примерно около 300 года до нашей эры. Александрия тогда была научной столицей мира: там стояла знаменитая библиотека, куда свозили книги со всего Средиземноморья.

Сохранились две известные истории, обе записаны через сотни лет после его смерти. По первой, царь Птолемей спросил, нет ли пути к геометрии покороче, чем «Начала». Евклид будто бы ответил: «В геометрии нет царской дороги». По второй, ученик спросил, какая выгода от изучения геометрии. Евклид велел слуге дать юноше монету, «раз уж он хочет извлекать выгоду из того, что изучает».

Как устроены «Начала»

Главная заслуга Евклида не в том, что он открыл все теоремы: многие были известны до него. Он придумал, как их выстроить. Сначала идут определения (что такое точка, линия, угол), затем постулаты и аксиомы, которые принимают без доказательства. Всё остальное выводится из них шаг за шагом, и каждая следующая теорема опирается только на доказанные раньше.

Такой способ называют аксиоматическим, и по нему устроена вся современная математика. Именно поэтому в школе на геометрии требуют не просто ответ, а доказательство: «по признаку равенства треугольников», «по свойству параллельных прямых».

Пять постулатов

• Через любые две точки можно провести прямую.
• Отрезок прямой можно продолжать неограниченно.
• Из любого центра можно описать окружность любого радиуса.
• Все прямые углы равны между собой.
• Если прямая, пересекая две другие, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти две прямые пересекутся с той стороны, где сумма меньше.

Пятый постулат длинный и непохож на остальные. Две тысячи лет его пытались вывести из первых четырёх, пока в XIX веке Николай Лобачевский не показал, что это невозможно, и не построил геометрию без него. Эту историю мы рассказали в статье про Лобачевского.

Две жемчужины про числа

Простых чисел бесконечно много

В IX книге есть доказательство, которое считают одним из самых красивых в истории. Предположим, простых чисел конечное количество. Перемножим их все и прибавим единицу. Новое число не делится ни на одно из наших простых: при делении всегда остаётся 1. Значит, либо оно само простое, либо делится на простое, которого нет в списке. Противоречие: список не может быть полным. Подробнее в статье про самое большое простое число.

Алгоритм Евклида

В VII книге описан способ найти наибольший общий делитель двух чисел без разложения на множители. Нужно делить большее число на меньшее и брать остаток, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД. Этому алгоритму больше двух тысяч лет, и он до сих пор работает в каждом компьютере, например при шифровании.

Судьба книги

Оригинал «Начал» не сохранился. Текст дошёл до нас через переписчиков: греческих, арабских, латинских. В IX веке книгу перевели на арабский в Багдаде, а в XII веке с арабского на латынь, и Европа заново открыла Евклида. Первое печатное издание вышло в Венеции в 1482 году.

Ещё в XIX веке в английских школах геометрию учили прямо по «Началам». Абрахам Линкольн, будущий президент США, в молодости изучал первые шесть книг, чтобы научиться строго рассуждать, и потом говорил, что это помогло ему как юристу.

Частые вопросы