Фибоначчи: кролики, подсолнухи и арабские цифры

Леонардо из Пизы

Его звали Леонардо Пизанский, он родился около 1170 года в итальянской Пизе. Прозвище Фибоначчи, то есть «сын Боначчи», появилось позже, уже у историков. Отец Леонардо был торговым чиновником и служил в порту Буджия на севере Африки, на территории нынешнего Алжира. Туда он взял и сына.

Там мальчик увидел, как арабские купцы считают индийскими цифрами 0, 1, 2… 9 с записью по разрядам. Это было в разы удобнее римских цифр. Леонардо путешествовал по Египту, Сирии, Греции, учился у местных математиков и, вернувшись домой, в 1202 году написал «Книгу абака».

Как цифры пришли в Европу

В «Книге абака» Фибоначчи объяснил, как записывать числа десятью знаками, как складывать, умножать и делить столбиком, как считать проценты, переводить меры и валюты. Книга была написана для купцов, поэтому в ней много практических задач: о прибыли, обмене товаров, займах.

Новые цифры прижились не сразу. Их было легко подделать: дописать ноль или исправить единицу на семёрку. Поэтому в некоторых городах официальные записи долго требовали вести по-старому. Но к XV–XVI векам удобство победило, и цифры, которые мы называем арабскими, а арабы называли индийскими, распространились по всей Европе.

Ноль был самым непривычным знаком. Пустое место, которое меняет значение числа: 5, 50, 500. До индийской системы такой записи в Европе не было.

Задача о кроликах

В книге есть задача: в загон посадили пару кроликов. Каждая пара со второго месяца жизни каждый месяц приносит новую пару. Кролики не умирают. Сколько пар будет через год?

Посчитаем по месяцам. В первый месяц одна пара, во второй тоже одна (она ещё молодая), в третий две, в четвёртый три, в пятый пять. Каждый месяц пар становится столько, сколько было месяц назад, плюс новорождённые от всех взрослых пар, а взрослых столько, сколько было два месяца назад.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

Каждое число равно сумме двух предыдущих. В последовательности, которую сегодня называют числами Фибоначчи, двенадцатое число 144. У самого Фибоначчи в ответе 377 пар: в его условии первая пара даёт потомство сразу, и счёт сдвигается.

Числа Фибоначчи в природе

Посмотрите на середину подсолнуха. Семечки расположены спиралями, закрученными в две стороны. Если посчитать, спиралей в одну сторону чаще всего 34, а в другую 55, или 55 и 89. Это соседние числа Фибоначчи. У сосновой шишки спиралей обычно 8 и 13, у ананаса 8 и 13 или 13 и 21.

Так происходит потому, что новые семечки растут под постоянным углом примерно 137,5° друг к другу. Этот угол связан с золотым сечением и позволяет уложить семечки плотнее всего, без пустот. Растение не «знает» математику: такая упаковка просто оказалась выгодной.

Если делить каждое число Фибоначчи на предыдущее, получится 2, 1,5, 1,67, 1,6, 1,625… и дальше всё ближе к 1,618. Это и есть золотое сечение. Где оно правда встречается, а где его приписывают без оснований, разобрано в статье про золотое сечение.

Задачи с числами Фибоначчи

23 ноября некоторые математики отмечают День Фибоначчи: в американской записи даты это 11/23, а 1, 1, 2, 3 первые числа последовательности.

Частые вопросы