Линейные неравенства и системы: 20 упражнений
Линейные неравенства решаются почти так же, как уравнения: переносим, приводим подобные, делим. Отличие одно, но именно на нём делают больше всего ошибок: при умножении и делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Тренируемся на упражнениях с ответами.
Для 8–9 классов, подготовка к ОГЭ.
Правила
- Слагаемые переносим из одной части в другую с противоположным знаком, как в уравнении.
- Обе части можно умножить или разделить на положительное число, знак не меняется.
- Обе части можно умножить или разделить на отрицательное число, но знак меняется на противоположный: < на >, ≤ на ≥.
Почему знак меняется? Возьмите верное неравенство 2 < 5 и умножьте на −1: получится −2 и −5. Но −2 > −5. Умножение на отрицательное число «зеркалит» числа относительно нуля, и порядок меняется.
Ответ записывают промежутком. Строгий знак < или > даёт круглую скобку: точка не входит. Нестрогий ≤ или ≥ даёт квадратную скобку: точка входит. Бесконечность всегда с круглой скобкой.
Простые неравенства
Задача
Решите: 1) 3x − 7 > 8; 2) 5 − 2x ≤ 11; 3) 4(x − 1) < 2x + 6; 4) 7 − 3x ≥ 2(x − 4); 5) −x/3 > 2.
1) 3x > 15, x > 5. Ответ (5; +∞).
2) −2x ≤ 6, делим на −2 и меняем знак: x ≥ −3. Ответ [−3; +∞).
3) 4x − 4 < 2x + 6, 2x < 10, x < 5. Ответ (−∞; 5).
4) 7 − 3x ≥ 2x − 8, 15 ≥ 5x, x ≤ 3. Ответ (−∞; 3].
5) Умножаем на −3 и меняем знак: x < −6.
Ответ: (5; +∞); [−3; +∞); (−∞; 5); (−∞; 3]; (−∞; −6).
С дробями
Задача
Решите: 1) (x + 3)/2 ≥ (x − 1)/3; 2) x/4 − x/6 > 1; 3) (2x − 1)/5 < x − 2.
1) Умножаем на 6: 3(x + 3) ≥ 2(x − 1), 3x + 9 ≥ 2x − 2, x ≥ −11.
2) Умножаем на 12: 3x − 2x > 12, x > 12.
3) Умножаем на 5: 2x − 1 < 5x − 10, 9 < 3x, x > 3.
Ответ: [−11; +∞); (12; +∞); (3; +∞).
Системы и двойные неравенства
Решение системы это общая часть решений всех неравенств. Удобно нарисовать числовую прямую и заштриховать каждое решение: ответ там, где штриховки пересекаются.
Задача
Решите системы: 1) x > 2 и x ≤ 6; 2) 2x − 1 > 3 и 3x + 2 < 20; 3) x > 5 и x < 1; 4) x ≥ 4 и x > 1.
1) Общая часть (2; 6].
2) x > 2 и x < 6: (2; 6).
3) Таких чисел нет: решений нет.
4) Оба условия выполнены при x ≥ 4: [4; +∞).
Ответ: (2; 6]; (2; 6); нет решений; [4; +∞).
Задача
Решите двойное неравенство −3 < 2x + 1 ≤ 7 и найдите количество его целых решений.
Вычитаем 1 из всех частей: −4 < 2x ≤ 6.
Делим на 2: −2 < x ≤ 3.
Целые решения: −1, 0, 1, 2, 3. Точка −2 не входит.
Ответ: (−2; 3], пять целых решений.
Целые решения и задачи
Задача
1) Найдите наименьшее целое решение неравенства 5x − 2 > 13. 2) Найдите наибольшее целое решение неравенства 3 − 2x ≥ −8.
1) 5x > 15, x > 3. Число 3 не входит, наименьшее целое 4.
2) −2x ≥ −11, x ≤ 5,5. Наибольшее целое 5.
Ответ: 4; 5.
Задача
Тетрадь стоит 45 рублей. Какое наибольшее количество тетрадей можно купить на 500 рублей?
45n ≤ 500, n ≤ 11,1…
n целое: 11.
Ответ: 11 тетрадей.
Задача
При каких значениях x периметр прямоугольника со сторонами x и x + 4 больше 40, но не больше 60?
Периметр 2(2x + 4) = 4x + 8.
40 < 4x + 8 ≤ 60, 32 < 4x ≤ 52, 8 < x ≤ 13.
Ответ: 8 < x ≤ 13.
Частые ошибки
- Забыли поменять знак при делении на отрицательное число.
- Перепутали скобки в ответе: при строгом знаке точка не входит, скобка круглая.
- В системе взяли объединение решений вместо пересечения.
- В целых решениях посчитали граничную точку, которая не входит.
Квадратные и дробные неравенства решаются методом интервалов, о нём в отдельной статье.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Где линейные неравенства нужны на ОГЭ?
В первой части есть задание на неравенства и их системы, где нужно выбрать ответ или промежуток на числовой прямой. Во второй части неравенство может оказаться первым заданием вместо уравнения. А ещё неравенства нужны, чтобы найти область определения: например, под корнем выражение должно быть неотрицательным.
Как не перепутать знак при делении на минус?
Привычка: каждый раз, когда делите на отрицательное число, сразу под строкой пишите новый знак и обводите его. Или переносите слагаемые так, чтобы коэффициент при x получился положительным, и делить на минус не придётся вовсе.
Можно ли умножать неравенство на x?
Нельзя, если знак x неизвестен: непонятно, менять знак неравенства или нет. В таких случаях переносят всё в одну часть и решают методом интервалов.
Как записать ответ, если решение одна точка?
Так бывает, например, у системы x ≥ 3 и x ≤ 3. Ответ: x = 3, или {3}.