Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства встречаются во второй части профильного ЕГЭ и пугают многих. На деле в них всего две идеи: сравнить аргументы с учётом основания и не забыть, что аргументы положительны.
Для учеников 10–11 классов.
Главное правило
| Основание | logₐ f(x) > logₐ g(x) равносильно |
|---|---|
| a > 1 | f(x) > g(x) > 0 |
| 0 < a < 1 | 0 < f(x) < g(x) |
Почему так: при a > 1 логарифм возрастает, большему аргументу соответствует больший логарифм. При основании меньше 1 логарифм убывает, и всё наоборот.
Примеры
Задача
Решите неравенство log₂(x − 1) < 3.
ОДЗ: x − 1 > 0, x > 1.
3 = log₂ 8, основание 2 > 1, знак сохраняется: x − 1 < 8, x < 9.
Пересекаем с ОДЗ.
Ответ: x ∈ (1; 9).
Задача
Решите неравенство log₁/₃(2x + 1) ≥ −1.
−1 = log₁/₃ 3.
Основание 1/3 < 1, знак меняется: 0 < 2x + 1 ≤ 3.
−1 < 2x ≤ 2, −1/2 < x ≤ 1.
Ответ: x ∈ (−1/2; 1].
Задача
Решите неравенство log₂² x − 3 log₂ x + 2 ≤ 0.
ОДЗ: x > 0. Замена t = log₂ x.
t² − 3t + 2 ≤ 0, (t − 1)(t − 2) ≤ 0, 1 ≤ t ≤ 2.
1 ≤ log₂ x ≤ 2, 2 ≤ x ≤ 4.
Ответ: x ∈ [2; 4].
Неравенство с множителями удобно решать методом интервалов.
Где теряют баллы
- Забыли перевернуть знак при основании меньше 1.
- Не пересекли ответ с ОДЗ.
- Поделили на выражение с логарифмом, не зная его знака.
- Перепутали круглую и квадратную скобку в ответе.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что делать, если основание зависит от x?
Рассматривать два случая: основание больше 1 и между 0 и 1, или использовать метод рационализации, который заменяет разность логарифмов на выражение того же знака.