Показательные уравнения и неравенства
Показательные уравнения появляются в 10–11 классе и часто идут в паре с логарифмами. Схем решения немного, и они хорошо запоминаются на примерах.
Для учеников 10–11 классов.
Одно основание
aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⇔ f(x) = g(x)
Задача
Решите уравнение 2ˣ⁺¹ = 32.
32 = 2⁵.
x + 1 = 5.
Ответ: x = 4.
Правила работы со степенями собраны в статье о степенях и корнях.
Общий множитель
Задача
Решите уравнение 3ˣ⁺² − 3ˣ = 72.
3ˣ⁺² = 9 · 3ˣ, выносим 3ˣ: 3ˣ(9 − 1) = 72.
3ˣ = 9 = 3².
Ответ: x = 2.
Замена
Задача
Решите уравнение 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0.
9ˣ = (3ˣ)². Замена t = 3ˣ, t > 0.
t² − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3.
3ˣ = 1, x = 0. 3ˣ = 3, x = 1.
Ответ: x = 0 или x = 1.
Условие t > 0 важно: если бы получилось t = −2, такой корень пришлось бы отбросить, потому что 3ˣ не бывает отрицательным.
Разные основания
Если привести к одному основанию нельзя, помогает логарифм:
5ˣ = 7 ⇔ x = log₅ 7
Подробно о логарифмах в статье логарифмы с нуля.
Неравенства
Правило то же, что у логарифмов: при основании больше 1 знак сохраняется, при основании от 0 до 1 меняется.
Задача
Решите неравенство (1/2)ˣ > 4.
4 = (1/2)⁻².
Основание 1/2 < 1, знак меняется: x < −2.
Ответ: x ∈ (−∞; −2).
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Где показательные функции встречаются в жизни?
Рост вклада со сложными процентами, размножение бактерий, распад радиоактивных веществ, распространение мемов. Последнее мы разобрали в статье откуда берутся мемы.