Математические фокусы и почему они работают
Математические фокусы удивляют друзей и родителей, а секрет у них всегда один: немного алгебры, спрятанной за весёлыми инструкциями. Разбираем восемь фокусов, которые можно показать уже сегодня, и для каждого объясняем, почему он работает. Объяснение даже интереснее самого фокуса.
Для 5–9 классов и всех, кто любит удивлять.
Ответ всегда 4
Фокус. Попросите друга задумать число, умножить его на 2, прибавить 8, разделить на 2 и вычесть задуманное. Объявите: «У тебя получилось 4!»
Секрет. Обозначим задуманное число x. После всех действий: (2x + 8) : 2 − x = x + 4 − x = 4. Задуманное число сокращается, и ответ от него не зависит. Можно менять прибавляемое число: если прибавить 10, ответ будет 5, то есть половина прибавленного.
Фокус 1089
Фокус. Попросите задумать трёхзначное число, у которого первая и последняя цифры различаются, например 532. Записать его наоборот: 235. Вычесть из большего меньшее: 532 − 235 = 297. Записать результат наоборот и сложить: 297 + 792. Получится 1089, всегда.
Если разность получилась двузначной, например 99, её нужно записать как 099. Тогда 099 + 990 = 1089.
Секрет. Пусть число abc, где a > c. Разность abc − cba = 99(a − c). А числа, кратные 99 среди трёхзначных, всегда устроены так: средняя цифра 9, а крайние в сумме дают 9: 198, 297, 396 и так далее. При сложении с перевёрнутым числом получается 100 · 9 + 10 · 18 + 9 = 1089.
Угадать возраст и месяц рождения
Фокус. Попросите умножить свой возраст на 2, прибавить 5, умножить на 50, прибавить номер месяца рождения и назвать результат. Вычтите в уме 250. Первые цифры это возраст, последние две месяц.
Например, человеку 13 лет, он родился в июле: (13 · 2 + 5) · 50 + 7 = 1557. 1557 − 250 = 1307: 13 лет, 7-й месяц.
Секрет. (2x + 5) · 50 + m = 100x + 250 + m. После вычитания 250 остаётся 100x + m: возраст, сдвинутый на два разряда, и месяц в двух последних цифрах.
Число 37 и одинаковые цифры
Фокус. Попросите умножить 37 на 3, 6, 9, 12 и так далее до 27. Получатся 111, 222, 333, …, 999.
Секрет. 37 · 3 = 111. Значит, 37 · 3k = 111 · k, а 111 · k для k от 1 до 9 даёт число из трёх одинаковых цифр k.
Волшебное число 142857
Фокус. Умножьте 142857 на 2, 3, 4, 5, 6. Получится 285714, 428571, 571428, 714285, 857142: те же цифры, только сдвинутые по кругу. А при умножении на 7 выходит 999999.
Секрет. Это период дроби 1/7 = 0,(142857). Дроби 2/7, 3/7 и так далее имеют тот же период, только начинающийся с другого места. А 7/7 = 1 = 0,(999999). Такие числа называют циклическими, и 142857 самое известное из них.
Угадать вычеркнутую цифру
Фокус. Попросите задумать любое число, например 7452, найти сумму его цифр, 18, и вычесть её из числа: 7452 − 18 = 7434. Затем вычеркнуть любую ненулевую цифру результата и назвать оставшиеся в любом порядке. Вы складываете названные цифры и дополняете сумму до ближайшего числа, кратного 9. Это и есть вычеркнутая цифра.
Если вычеркнули 3, назовут 7, 4, 4. Сумма 15, до 18 не хватает 3.
Секрет. Число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9. Поэтому разность всегда делится на 9, а значит, и сумма её цифр кратна 9. Не хватающее до кратного девяти и есть вычеркнутая цифра. Если сумма названных цифр уже кратна 9, значит, вычеркнули 9: поэтому просим не вычёркивать нули. Признаки делимости собраны в таблице.
Умножение на 9 на пальцах
Фокус. Положите руки перед собой, пальцы пронумеруйте слева направо от 1 до 10. Чтобы умножить 9 на 7, загните седьмой палец. Слева от него 6 пальцев, справа 3. Ответ 63.
Секрет. 9 · n = 10n − n = 10(n − 1) + (10 − n). Слева от загнутого пальца n − 1 пальцев, это десятки, справа 10 − n, это единицы.
Башня из кубиков
Фокус. Попросите поставить друг на друга три игральных кубика, пока вы отвернулись. Обернувшись, вы смотрите только на верхнюю грань и называете сумму всех скрытых горизонтальных граней: нижней грани верхнего кубика, обеих граней среднего и обеих нижнего.
Секрет. У игрального кубика сумма противоположных граней всегда 7. Три кубика дают три пары верх-низ, всего 21. Видна только верхняя грань, остальные пять горизонтальных граней скрыты. Значит, их сумма 21 минус число на верхней грани.
Зачем это школьнику
Каждый фокус маленькое доказательство: мы обозначаем неизвестное буквой и показываем, что результат от неё не зависит. Так работает алгебра, и именно так в 7 классе упрощают выражения. Ребёнок, который сам разобрался, почему работает фокус 1089, гораздо легче примет буквы в уравнениях.
Хорошее упражнение: придумать свой фокус. Например, «задумай число, умножь на 3, прибавь 6, раздели на 3, вычти задуманное». Какой ответ получится и почему? Ещё больше занимательной математики в статье о задачах-ловушках.
Разберём на занятии
На живых занятиях преподаватель объясняет школьные темы через такие истории: так правило или формула запоминается с первого раза.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему фокусы с числами так нравятся детям?
Потому что в них есть тайна и победа: сначала удивление, потом «я понял, как это работает». Это то же чувство, ради которого математики решают задачи.
С какого возраста показывать такие фокусы?
Первые фокусы с угадыванием подходят уже для 3–4 класса. Объяснения через буквы лучше давать с 5–6 класса, когда ребёнок знаком с уравнениями.