Разложение на множители: 20 упражнений
Разложить на множители значит записать выражение в виде произведения. Это обратная задача к раскрытию скобок, и она нужна постоянно: чтобы сократить дробь, решить уравнение или быстро посчитать. Разбираем четыре способа и порядок, в котором их стоит пробовать, а потом тренируемся.
Для 7–9 классов.
В каком порядке пробовать
- Вынести общий множитель за скобки, если он есть.
- Посмотреть, не подходит ли формула: разность квадратов, квадрат суммы или разности, сумма или разность кубов.
- Если слагаемых четыре и больше, попробовать группировку.
- Если это квадратный трёхчлен, найти корни и записать a(x − x₁)(x − x₂).
Часто способы комбинируются: сначала выносят общий множитель, а оставшееся раскладывают по формуле. Например, 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2). Разложение считается законченным, когда ни один множитель дальше не раскладывается.
Общий множитель
Задача
Вынесите общий множитель: 1) 6x + 9; 2) 5a² − 10a; 3) 12x³y − 8x²y²; 4) 2a(x − y) + 3b(x − y).
1) Общий делитель 3: 3(2x + 3).
2) Общий множитель 5a: 5a(a − 2).
3) Числа 12 и 8 дают 4, буквы x² и y: 4x²y(3x − 2y).
4) Общий множитель целая скобка (x − y): (x − y)(2a + 3b).
Ответ: 3(2x + 3); 5a(a − 2); 4x²y(3x − 2y); (x − y)(2a + 3b).
Проверка всегда одна: раскройте скобки обратно, должно получиться исходное выражение. Пример 4 важен: множителем может быть не только число или буква, но и целая скобка.
По формулам
Задача
Разложите: 1) x² − 49; 2) 4y² − 25; 3) x² + 10x + 25; 4) 9a² − 6a + 1; 5) a³ − 8; 6) 16 − (x + 1)².
1) Разность квадратов: (x − 7)(x + 7).
2) (2y)² − 5²: (2y − 5)(2y + 5).
3) Квадрат суммы: x² + 2 · 5 · x + 5² = (x + 5)².
4) Квадрат разности: (3a)² − 2 · 3a · 1 + 1² = (3a − 1)².
5) Разность кубов: (a − 2)(a² + 2a + 4).
6) Разность квадратов 4² и (x + 1)²: (4 − x − 1)(4 + x + 1) = (3 − x)(5 + x).
Ответ: (x − 7)(x + 7); (2y − 5)(2y + 5); (x + 5)²; (3a − 1)²; (a − 2)(a² + 2a + 4); (3 − x)(5 + x).
Как узнать квадрат суммы? Крайние слагаемые должны быть квадратами (x² и 25 = 5²), а среднее равно их удвоенному произведению (2 · x · 5 = 10x). Если среднее не совпадает, формула не подходит, и нужно искать другой способ.
Группировка
Задача
Разложите группировкой: 1) ax + ay + 3x + 3y; 2) x³ − 2x² + 3x − 6; 3) ab − 3a + 2b − 6.
1) a(x + y) + 3(x + y) = (x + y)(a + 3).
2) x²(x − 2) + 3(x − 2) = (x − 2)(x² + 3).
3) a(b − 3) + 2(b − 3) = (b − 3)(a + 2).
Ответ: (x + y)(a + 3); (x − 2)(x² + 3); (b − 3)(a + 2).
Идея группировки: разбить слагаемые на пары так, чтобы после вынесения множителя в каждой паре в скобках осталось одно и то же. Если не получилось, попробуйте сгруппировать иначе: первое с третьим, второе с четвёртым.
Квадратный трёхчлен
Задача
Разложите: 1) x² − 5x + 6; 2) x² + x − 12; 3) 2x² + 3x − 2; 4) x³ − x.
1) Корни 2 и 3 (сумма 5, произведение 6): (x − 2)(x − 3).
2) Корни 3 и −4: (x − 3)(x + 4).
3) D = 9 + 16 = 25, корни 1/2 и −2. 2(x − 1/2)(x + 2) = (2x − 1)(x + 2).
4) x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1).
Ответ: (x − 2)(x − 3); (x − 3)(x + 4); (2x − 1)(x + 2); x(x − 1)(x + 1).
Формула ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) работает, только если корни есть. Если дискриминант отрицательный, трёхчлен на множители не раскладывается. Как искать корни, рассказали в статье о квадратных уравнениях.
Зачем это нужно
Задача
1) Вычислите 53² − 47². 2) Сократите дробь (x² − 9)/(x² + 3x). 3) Решите уравнение x³ − 4x = 0.
1) (53 − 47)(53 + 47) = 6 · 100 = 600.
2) Числитель (x − 3)(x + 3), знаменатель x(x + 3). Сокращаем на (x + 3): (x − 3)/x.
3) x(x − 2)(x + 2) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x = 0, 2, −2.
Ответ: 600; (x − 3)/x; 0, 2 и −2.
Пример 3 главная причина учить разложение. Уравнения третьей и четвёртой степени на ОГЭ и ЕГЭ почти всегда решаются именно так: разложить и приравнять каждый множитель к нулю. Делить обе части на x при этом нельзя: потеряется корень x = 0.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как понять, что разложение закончено?
Когда каждый множитель дальше не раскладывается: нет общего множителя, нет подходящей формулы, а у квадратных множителей отрицательный дискриминант, как у x² + 3.
Можно ли раскладывать по-разному?
Можно идти разными путями, но окончательный ответ один, с точностью до порядка множителей и знаков: (3 − x)(5 + x) и −(x − 3)(x + 5) это одно и то же.