Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 1–10.

1. Точки минимума по графику производнойAuraLab, по прототипу ФИПИ

   На рисунке изображён график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;\,6)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-3;\,5]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Точка минимума функции там, где производная меняет знак с минуса на плюс, то есть график $f'(x)$ пересекает ось $x$ снизу вверх.

   По рисунку это точки $x = -1$ и $x = 5$. Обе лежат на отрезке $[-3;\,5]$, поэтому ответ $2$.

   Отдельная страница задачи
2. Наибольшее значение по графику производнойAuraLab, по прототипу ФИПИ

   На рисунке изображён график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;\,6)$. В какой точке отрезка $[-4;\,-1]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: –4

   На интервале $(-4;\,-1)$ график производной лежит ниже оси $x$, то есть $f'(x) < 0$ и функция убывает.

   Убывающая функция наибольшее значение на отрезке принимает в левом конце: в точке $x = -4$.

   Отдельная страница задачи
3. Касательная к графикуAuraLab, по прототипу ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0 = 3$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: –2

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

   Касательная проходит через узлы клетки $(2;\,4)$ и $(4;\,0)$: при сдвиге на $2$ вправо она опускается на $4$. Угловой коэффициент $\dfrac{0 - 4}{4 - 2} = -2$.

   Отдельная страница задачи
4. Нули производной по графику функцииAuraLab, по прототипу ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y = f(x)$, определённой на интервале $(-4;\,4)$. Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна $0$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Производная гладкой функции равна нулю в точках, где касательная горизонтальна: на вершинах «горок» и дне «ям».

   На графике одна вершина (точка максимума) левее нуля и одна яма (точка минимума) правее нуля. Ответ $2$.

   Отдельная страница задачи
5. Скорость как производнаяAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 6t^2 - 48t + 17$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t = 9$ с.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Скорость равна производной координаты по времени: $v(t) = x'(t) = 12t - 48$.

   $v(9) = 12 \cdot 9 - 48 = 60$ м/с.

   Отдельная страница задачи
6. Параллельная касательнаяAuraLab, по прототипу ФИПИ

   Прямая $y = 7x - 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 + 6x - 8$. Найдите абсциссу точки касания.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,5

   Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, а угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания.

   $y' = 2x + 6 = 7$, откуда $x = 0{,}5$.

   Отдельная страница задачи
7. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Производная отрицательна там, где функция убывает: график идёт вниз при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках убывания их $4$.

   Отдельная страница задачи
8. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −0,4

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,3)$ и $(2;\,1)$:

   $$k = \frac{1 - 3}{2 - (-3)} = \frac{-2}{5} = −0{,}4.$$

   Отдельная страница задачи
9. Сравнение производной в точкахОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-\,2$, $-\,1$, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции $f(x)$ наименьшее? В ответе укажите эту точку.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Производная равна угловому коэффициенту касательной. Наименьшая она там, где график круче всего опускается. Из отмеченных точек это $x = 4$.

   Отдельная страница задачи
10. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

    На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_{0}$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 0,4

    Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,1)$ и $(2;\,3)$:

    $$k = \frac{3 - 1}{2 - (-3)} = \frac{2}{5} = 0{,}4.$$

    Отдельная страница задачи