Таблица производных и правила
Производная показывает, как быстро меняется функция. Как читать её по графику, мы разобрали в статье о производной по графику. Здесь всё, что нужно, чтобы находить производную по формуле.
Для учеников 10–11 классов.
Таблица
| Функция | Производная |
|---|---|
| C (число) | 0 |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1 / cos² x |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a |
| ln x | 1/x |
| logₐ x | 1 / (x ln a) |
Правила
| Правило | Формула |
|---|---|
| Сумма | (u + v)′ = u′ + v′ |
| Число вперёд | (Cu)′ = C · u′ |
| Произведение | (uv)′ = u′v + uv′ |
| Частное | (u/v)′ = (u′v − uv′) / v² |
| Сложная функция | f(g(x))′ = f′(g(x)) · g′(x) |
Примеры
(3x⁴ − 2x + 5)′ = 12x³ − 2
(x² sin x)′ = 2x sin x + x² cos x
((2x + 1)⁵)′ = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴
Где это нужно: экстремумы
Задача
Найдите точки максимума и минимума функции y = x³ − 3x.
y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
y′ = 0 при x = −1 и x = 1.
Знаки y′: + до −1, − между −1 и 1, + после 1.
В x = −1 рост сменяется убыванием: максимум, y = 2. В x = 1 наоборот: минимум, y = −2.
Ответ: Максимум в точке −1, минимум в точке 1.
Знаки производной удобно расставлять методом интервалов.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли учить таблицу наизусть?
Да, хотя бы первые восемь строк. Остальные выводятся из них, но на экзамене на это нет времени.