Стереометрия ЕГЭ: доказательство и угол с плоскостью

Условие

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a. а) Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD. б) Найдите угол между прямой AA₁ и плоскостью A₁BD.

Обозначения стандартные: ABCD нижнее основание, A₁B₁C₁D₁ верхнее, и точка A₁ стоит над A. Нарисуйте куб сами: в стереометрии хороший рисунок половина решения. Плоскость A₁BD проходит через одну верхнюю вершину и две нижние, это правильный треугольник, срезающий угол куба.

Инструмент: теорема о трёх перпендикулярах

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Проще говоря: чтобы проверить, что наклонная перпендикулярна какой-то прямой в плоскости, достаточно спроецировать наклонную и проверить её тень.

И признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Именно эти две теоремы закрывают пункт а.

Пункт а: доказательство

Нужно доказать, что AC₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости A₁BD. Возьмём BD и A₁B.

• AC₁ ⟂ BD. Проекция AC₁ на плоскость основания ABCD это диагональ AC: точка C₁ проецируется в C. Диагонали квадрата перпендикулярны: AC ⟂ BD. По теореме о трёх перпендикулярах AC₁ ⟂ BD.
• AC₁ ⟂ A₁B. Проекция AC₁ на плоскость грани ABB₁A₁ это AB₁: точка C₁ проецируется в B₁, ведь ребро B₁C₁ перпендикулярно этой грани. Диагонали квадрата ABB₁A₁ перпендикулярны: AB₁ ⟂ A₁B. Значит, AC₁ ⟂ A₁B.

Прямые BD и A₁B лежат в плоскости A₁BD и пересекаются в точке B. Прямая AC₁ перпендикулярна обеим, значит, по признаку перпендикулярна плоскости A₁BD. Что и требовалось доказать.

Почему мы выбрали именно BD и A₁B? Можно было взять любые две стороны треугольника A₁BD: все они диагонали граней куба, и для каждой рассуждение одинаковое. Удобно выбирать те, для которых проекция наклонной видна на рисунке сразу.

Обратите внимание на оформление: каждое утверждение с причиной и названием теоремы. Проверяющий ставит балл за пункт а, только если доказательство полное, а не «видно из рисунка».

Пункт б: угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Прямая AA₁ пересекает плоскость A₁BD в точке A₁. Нужна проекция точки A на плоскость.

Из пункта а мы знаем, что AC₁ перпендикулярна плоскости. Значит, перпендикуляр из A на плоскость лежит на прямой AC₁. Пусть H точка пересечения AC₁ с плоскостью A₁BD. Тогда A₁H проекция AA₁, и искомый угол φ = ∠AA₁H. Треугольник AA₁H прямоугольный с прямым углом H, поэтому

sin φ = AH / AA₁

Осталось найти AH, расстояние от A до плоскости. Удобно через объём пирамиды AA₁BD. Её объём можно посчитать двумя способами: с основанием ABD и высотой AA₁, и с основанием A₁BD и высотой AH.

V = (1/3) · S(ABD) · AA₁ = (1/3) · (a²/2) · a = a³/6

Треугольник A₁BD правильный: все его стороны диагонали граней, длиной a√2. Его площадь:

S(A₁BD) = (√3/4) · (a√2)² = (√3/2) · a²

AH = 3V / S(A₁BD) = (a³/2) / ((√3/2) · a²) = a/√3

Тогда sin φ = (a/√3) / a = 1/√3 = √3/3. Угол удобно выразить через тангенс: cos φ = √(1 − 1/3) = √(2/3), tg φ = sin φ / cos φ = 1/√2 = √2/2.

Ответ: б) arcsin(√3/3), или arctg(√2/2)

Проверка методом координат

Метод координат позволяет проверить ответ или даже решить пункт б целиком без дополнительных построений. Положим ребро равным 1 и поместим куб в систему координат: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1).

Плоскость через A₁, B и D имеет уравнение x + y + z = 1: подставьте все три точки, и равенство выполнится. Вектор нормали n = (1; 1; 1). Он же направляющий вектор AC₁, ведь C₁(1; 1; 1). Это ещё раз подтверждает пункт а.

Направляющий вектор прямой AA₁: v = (0; 0; 1). Синус угла между прямой и плоскостью:

sin φ = |n · v| / (|n| · |v|) = 1 / (√3 · 1) = √3/3

Ответ совпал. Метод координат на ЕГЭ полностью разрешён, и если доказательство не даётся, пункт б всё равно можно решить и получить за него баллы.

Советы к заданию

• Начинайте с большого аккуратного рисунка, на котором видна нужная плоскость.
• Пункт б часто опирается на пункт а. Даже если доказательство не получилось, его утверждение можно использовать в пункте б: баллы за б поставят.
• Расстояние от точки до плоскости удобно искать через объём, если перпендикуляр трудно построить.
• Ответ можно записывать через arcsin, arccos или arctg: проверяющий примет любую верную форму.

Формулы объёмов призмы и пирамиды собраны в статье об объёмах.

Частые вопросы