Текстовые задачи ОГЭ: 8 решений по шагам
Во второй части ОГЭ по математике есть текстовая задача на 2 балла. Её решают многие, но баллы теряют на оформлении: не объяснили, что обозначено за x, не проверили, подходит ли корень. Разбираем восемь задач самых частых типов и показываем полное решение.
Для 8–9 классов, подготовка к ОГЭ.
Схема решения
- Обозначить за x неизвестную величину и написать словами, что это.
- Выразить через x остальные величины, удобно в таблице: скорость, время, расстояние или производительность, время, работа.
- Составить уравнение по условию, которое ещё не использовано.
- Решить уравнение и отобрать корни по смыслу: скорость не бывает отрицательной, рабочих не бывает дробное число.
- Записать ответ на вопрос задачи, а не просто значение x.
Движение по реке
Задача
Лодка прошла 24 км по течению и 24 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Пусть собственная скорость x км/ч, x > 2. По течению x + 2, против течения x − 2.
Время по течению 24/(x + 2), против течения 24/(x − 2). Всего 5 часов.
24/(x + 2) + 24/(x − 2) = 5. Умножаем на (x + 2)(x − 2): 24(x − 2) + 24(x + 2) = 5(x² − 4).
48x = 5x² − 20, 5x² − 48x − 20 = 0. D = 2304 + 400 = 2704 = 52².
x = (48 + 52)/10 = 10 или x = (48 − 52)/10 = −0,4. Отрицательный корень не подходит.
Ответ: 10 км/ч.
Совместная работа
Задача
Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?
Примем объём бассейна за 1. Первая за час наполняет 1/6, вторая 1/3.
Вместе за час: 1/6 + 1/3 = 1/2.
Время: 1 : 1/2 = 2 часа.
Ответ: 2 часа.
Задача
Первый рабочий делает в час на 4 детали больше второго и выполняет заказ из 96 деталей на 4 часа быстрее. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Пусть второй делает x деталей в час, первый x + 4.
Время второго 96/x, первого 96/(x + 4). Разница 4 часа.
96/x − 96/(x + 4) = 4. Умножаем на x(x + 4): 96(x + 4) − 96x = 4x(x + 4).
384 = 4x² + 16x, x² + 4x − 96 = 0, корни 8 и −12.
Подходит x = 8. Проверка: второй делает заказ за 12 часов, первый по 12 деталей за 8 часов. Разница 4.
Ответ: 8 деталей в час.
Больше задач этого типа в статье о совместной работе.
Смеси и растворы
Задача
Смешали 30 %-й и 10 %-й растворы соли и получили 600 г 15 %-го раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли?
Пусть 30 %-го раствора x г, тогда 10 %-го 600 − x г.
Соли: 0,3x + 0,1(600 − x) = 0,15 · 600.
0,3x + 60 − 0,1x = 90, 0,2x = 30, x = 150.
10 %-го раствора 600 − 150 = 450 г.
Ответ: 150 г 30 %-го и 450 г 10 %-го.
Проценты
Задача
Цену товара повысили на 20 %, а затем снизили на 20 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?
Пусть цена была x. После повышения 1,2x.
После снижения 1,2x · 0,8 = 0,96x.
Цена уменьшилась на 4 %.
Ответ: снизилась на 4 %.
Задача
Вклад 50 000 рублей положили в банк под 10 % годовых с начислением процентов раз в год на всю сумму. Сколько будет на счёте через 2 года?
Через год: 50 000 · 1,1 = 55 000.
Через два: 55 000 · 1,1 = 60 500.
Ответ: 60 500 рублей.
Обе задачи показывают одну и ту же идею: проценты считаются от текущей величины, а не от исходной. Подробнее в статье о трёх задачах на проценты.
Средняя скорость и поезд
Задача
Половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую половину со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Пусть половина пути s км. Время на первой половине s/60, на второй s/40.
Всё время s/60 + s/40 = 5s/120 = s/24.
Средняя скорость: весь путь на всё время, 2s : s/24 = 48 км/ч.
Ответ: 48 км/ч.
Задача
Поезд, двигаясь со скоростью 72 км/ч, проезжает мимо столба за 15 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
72 км/ч = 72 000 м : 3600 с = 20 м/с.
За 15 секунд поезд проходит свою длину: 20 · 15 = 300 м.
Ответ: 300 м.
Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей: (60 + 40)/2 = 50 неверно. На медленном участке машина едет дольше, поэтому он «весит» больше.
Как не потерять баллы
- Писать словами, что обозначено за x, и в каких единицах.
- Объяснять, откуда взялось уравнение: «так как на весь путь затрачено 5 часов…».
- Отбрасывать неподходящий корень с объяснением: «скорость не может быть отрицательной».
- Отвечать на вопрос задачи: если спросили длину в метрах, а считали в километрах, перевести.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли решить без уравнения, подбором?
Если ответ угадан и проверен, но решения нет, баллы не поставят. Подбор годится для самопроверки, а на экзамене нужна запись решения с уравнением или рассуждением.
Что делать, если уравнение получилось с некрасивым дискриминантом?
Перепроверить, правильно ли составлено уравнение. В задачах ОГЭ числа подобраны так, что дискриминант обычно оказывается точным квадратом.